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Michele Cipolla 
[Memoria II.] 
•2 — Se T è una. sostituzione non cayleyana d’ ordine n e il determinante 
| T— (— J | ha la caratteristica n — k, non esiste in F alcuna sostituzione di specie 
h minore di k che moltiplicata per T dia una sostituzione cayleyana. 
Nell’ ipotesi, poi, che T sia reale, le prop. precedenti, in virtù del ter. 4 ‘ 2, possono 
mettersi sotto la forma seguente : 
'3 — Una sostituzione T reale non cayleyana, di cui — 1 è radice k — upla, è 
sempre il prodotto di una sostituzione cayleyana per una sostituzione di T, di 
specie k; e non è mai il prodotto di una sostituzione cayleyana per una sostitu- 
zione di T di specie h minore di k. 
III. 
Classificazione delle sostituzioni non-eayleyane. 
9. Le non-cayleyane di prima e di seconda specie — - Diremo che una sostituzione 
non-cayleyana è di specie k ( k 2> 0) se essa è il prodotto di una sostituzione cayleyana 
per una sostituzione del gruppo T, di specie k, e non è mai il prodotto di una sostitu- 
zione cayleyana per una sostituzione di T di specie minore di li. 
Questa def. non è che un’ estensione della def. di specie, data nell’ art. 6, per le so- 
stituzioni di r, perchè una sostituzione I di F, di specie k, secondo quella def., è una 
sostituzione non-cayleyana di specie li, secondo quest’ ultima def. . 
Infatti, supponiamo che / sia il prodotto di una sostituzione cayleyana S per una so- 
stituzione I' di r, di specie h : 
I = l’S; 
se ne trae 
ri — s , 
ma poiché il prodotto di due sostituzioni di F è una sostituzione di T, e 1’ unica sostitu- 
zione di r, che sia cayleyana, è l’identità, ne risulta I = S, e però /=/'. 
Dalla prop. 8 ‘ 2 si deduce subito: 
' 1 — Una sostituzione non cayleyana T, d'ordine n, è di specie k allora e sol- 
tanto quando il determinante I T -[- J | ha la caratteristica n — k. 
E dalla prop. 8 ’ 3 si trae 
•2 — Una sostituzione reale non-cayleyana T, d’ ordine n, è di specie k allo- 
ra e soltanto quando — 1 è una sua radice k — upla. 
Effettuando una stessa permutazione sulle righe e sulle colonne della matrice di una 
sostituzione ortogonale T , è chiaro che la caratteristica del determinante ! T -j- J | non 
può mutare e quindi nemmeno la specie della sostituzione T. Perciò noi non consideriamo 
come distinte due sostituzioni ortogonali quando l’una si può ottenere dall’altra effettuan- 
do una stessa permutazione sulle righe e sulle colonne; quindi, essendo S una cayleyana 
arbitraria : 
S = 2Z- 1 — d , 
In... n >8 
assumiamo la rappresentazione 
