Le sostituzioni ortogonali non cayleyane 
IH 
quindi non può assumere sempre il valore zero per tutti i possibili valori delle £, perche 
ciascuna di queste può assumere arbitrariamente due valori distinti assegnati, cioè p 1 e — 1. 
Resta cosi dimostrata l’esistenza di una sostituzione / che moltiplicata per la data 
sostituzione 7 produce una sostituzione cayleyana. 
Per conseguenza, tutte le sostituzioni ortogonali sono date dall' insieme : 
r(2Z-‘ — J) . (3) 
8. Pekfezion amento del teorema di Prym — La rappresentazione ottenuta di tutte le 
sostituzioni ortogonali, mediante la (3), ha però, come vedremo, l’inconveniente di non 
dare sostituzioni tutte distinte. Per evitare ciò noi faremo uso di un’altra rappresentazione 
che otterremo classificando opportunamente le sostituzioni non-cayleyane. A questo scopo 
noi cominceremo col perfezionare il teorema precedente, dimostrando che: 
*1 Se T è una sostituzione non cayleyana e il determinante 1 T-f-J | ha la 
caratteristica n — k, esiste una sostituzione 1 di specie k, che moltiplicata per T 
dà una cayleyana. 
Infatti, poiché | T -f- J | ha la caratteristica» — k, esiste nel determinante i 7 -j -d | 
un minore principale, d’ordine n—k, che è diverso da zero (4M). Sia tale per es. quello 
che si ottiene da | T -j- >1 | sopprimendo le righe e le colonne d’indici i\, r h , 
e consideriamo la sostituzione Ir l > i ...r h del gruppo I\ 
Poiché 
I T -f- Ir i r t ...r K I = | (7’-}- J) — (J — Ir ì r t ...r k ) | , (4) 
posto 
«/ = l — s /, (/= 1, 2,..., //), 
sviluppiamo il determinante (4) secondo i prodotti delle a, 
Denotando con P rs ...c il minore principale del daterminante | T J \ che si ottiene 
da questo sopprimendo le righe e le colonne d’indici r, s,..., /, otteniamo: 
I T-\r Ir v r ! = | 7' -f- d j — > a, P ( + > a, a P u - ... -f- (—1)" o 2 ...a„ , (5) 
dove le somme s’ intendono estese a tutte le combinazioni degli indici 1, 2,..., n . rispetti- 
vamente ad 1 ad 1, a 2 a 2 ,.... 
Ma, per ipotesi, ! T -f- J \ —0, e sono nulli tutti i minori di | T -j - .) \ d’ordine 
n — 1, // — 2 ,..., n—k — I, mentre il minore principale, d’ordine n-k, P r ,r t ...r k , è di- 
verso da zero, ed inoltre a, è uguale a 2 pei valori r A , r k dell’ indice /, ed eguale 
a zero per tutti gli altri valori di /; quindi la (5) diviene 
e si conchiude che il determinante | 7" -f- Ir l r i ...r k è diverso da zero, e il prodotto 
T è una sostituzione cayleyana. 
Dalla stessa (5) si deduce che tutti i determinanti della forma | 7 -J- , se 
h<C.k, sono nulli, e però : 
