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Michele Cipolla 
[Memoria II.] 
6. Il gruppo abeliano T — Denoteremo genericamente con I una sostituzione i cui 
elementi principali sono eguali a -f- 1 o a — 1, e gli altri elementi sono tutti nulli: 
cioè le 2" sostituzioni / sono ortogonali e di secondo grado. 
Rappresenteremo poi, in particolare, con I rs ... t la sostituzione I che ha eguali a — 1 
Si riconosce subito che una sostituzione I rs ...t moltiplicata a sinistra (destra) per una 
sostituzione S, non fa che cambiare il segno agli elementi delle righe (colonne) di indici 
quindi le sostituzioni I formano un gruppo abeliano T d’ ordine 2 n , coll’ invariante nu- 
merico 2 di multiplicità n. Una base di questo gruppo è formata dalle sostituzioni 
Diremo che una sostituzione / è di specie li , se h è il numero degli elementi prin- 
cipali di essa, che sono eguali a — 1. 
Una sostituzione I di specie k ha la radice — l di multiplicità k e la radice 1 di 
di multiplicità n — h. Per conseguenza, una sostituzione / di specie k, se non è l’ identità, 
cioè se k P> 0, è sempre una sostituzione non-cayleyana. 
7. Le sostituzioni non-cayleyane e il teorema di Prym — L’importanza del grup- 
po r nella questione che trattiamo risulta manifesta dal teorema seguente 15 ) : 
•l — Una sostituzione ortogonale qualunque d' ordine n è sempre il prodotto 
di una sostituzione cayleyana per una sostituzione del gruppo F. 
La prop. è evidente se la sostituzione data è cayleyana. Sia dunque data una sosti- 
tuzione T non-cayleyana e dimostriamo che esiste sempre una sostituzione I tale che il 
prodotto IT sia una sostituzione cayleyana. Allora sarà anche dimostrata la prop. asse- 
rita, perchè, posto S = IT, risulta T~IS. 
Ora essendo IT -J- J = I(T-\- /), perchè la sostituzione TT~\~J sia propria occorre e 
basta che il determinante 1 T \ I | sia diverso da zero. Ma esso è una funzione razio- 
nale intera nelle variabili e,, s 2 ,..., s„ , non identicamente nulla (perchè il prodotto s,s 8 ...é ;t 
vi comparisce col coefficiente 1), ed inoltre lineare in ciascuna delle variabili stesse, 
Evidentemente 
I=I~ l = /_! 
soltanto quegli elementi principali che appartengono alle righe r ima , s i,na ,..., t ir " a . 
r, 5 ,..., /. 
Evidentemente 
1S ) Salvo la forma esso trovasi nella citata Memoria di PRYM. v. nota !l ). 
