Le sostituzioni ortogonali non cayleyane 
11 
Infatti, essendo 
Z -f- Z_i — 2 J , 
moltiplicando a destra o a sinistra per Z si ottiene 
Z_, Z-‘ = 2Z _1 -j— Z- 1 Z_, , 
quindi 
s : ; = (z_, z - 1 ):; = z - 1 z_, = s , 
e però /$ è ortogonale e anche destrorsa perchè 
| « | = | zr' | . | Z-, I = | Z r> | Z | = l 
Noi denoteremo costantemente con z rs l’elemento generico della sostituzione Z; quindi 
S rr 1 , Z £ sr ì (r,S 1,2,...,// « T | -S). 
Gli elementi della sostituzione ortogonale *S sono espressi, in virtù della (2), da fun- 
zioni razionali degli parametri z rs . Questi possono essere scelti ad arbitrio, purché 
il determinante | Z | sia diverso da zero, 'l'ale condizione è sempre soddisfatta se gli 
elementi z rs sono tutti reali, in virtù di una proprietà nota dei determinanti pseudosim- 
metrici ad elementi reali e cogli elementi principali eguali tutti ad uno stesso numero di- 
verso da zero. 
Già sopra abbiamo dimostrato, come conseguenza del teor. 3‘2, la prop. inversa del- 
la precedente, cioè : 
'2 — Se S è una sostituzione ortogonale destrorsa che non ammette la radice 
— 1, allora esiste una sostituzione propria pseudosimmetrica Z, cogli elementi 
principali eguali a 1, dalla quale S è deducibile secondo la forinola (2) di Cayley. 
Ma è anche facile dimostrare questa prop. direttamente. 
Infatti, posto 
Z = 2 (S + , 
si ha 
Z_, = 2 (S_, -|- J)- 1 = 2 (S- 1 -f J)-' = 2 (./ + S)- 1 S = Z (2Z- 1 - J) = 2J - Z , 
è però Z è una sostituzione pseudosimmetrica cogli elementi principali eguali a 1. 
Noi distingueremo le sostituzioni ortogonali in cayleyane e non-cayleyane secondo 
che esse siano prive o no della radice — 1. 
Dal teor. di Brioschi (2 ' 1 ) risulta che 
'3 — Le sostituzioni ortogonali sinistrorse sono tutte non-cayleyane. 
