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Michele Cipolla 
[Memoria IL] 
Da questo risultato segue subito che i minori principali d’ordine p di | S-{-J | non 
possono essere tutti nulli; ma allora dalla (7) si deduce 
e però dalla (6) : 
(— l)"-i> 
Resta cosi dimostrata la prop. : 
'1 — Se S è una sostitusione ortogonale qualunque d' ordine n, e p è la ca- 
ratteristica di | S — 1 — J | , allora n — p è pari o dispari secondo che S è destrorsa 
0 sinistrorsa, ogni minore d' ordine p di \ S — {— J j è uguale al suo coniugato , e 
1 minori principali d' ordine p non sono tutti nulli. 
Nell’ ipotesi, poi, che S sia reale, si deduce dalla (8) che i minori principali d’ordine 
p di | S -j- J | son tutti dello stesso segno, e poiché non sono tutti nulli, la loro somma 
è diversa da zero. E allora, in base al teor. 1 * 1, si conchiude: 
'2 — Se S è una sostitusione ortogonale reale d'ordine n, e se p è la carat- 
teristica di S — j — J, allora — 1 è radice di S di multi plicità n — p. 
Teoremi analoghi possono stabilirsi prendendo in considerazione un minore di dato 
ordine di | *S — J | , ma essi non hanno, per il nostro scopo, l’ importanza dei due teo- 
remi precedenti. 
II. 
Sostituzioni cayleyane e non-cayleyane. 
5. Le sostituzioni cayleyane — Se N è una sostituzione ortogonale destrorsa che 
non ammette la radice — l, cioè se | S-\-J | =[=0, allora in virtù della prop. 3 ' 2, la 
sostituzione è pseudosimmetrica cogli elementi principali eguali ad — . Se quindi 
si pone 
-f ( S + J)- 1 = Z , (1) 
la sostituzione Z è pseudosimmetrica propria ed ha gli elementi principali eguali a 1. 
La (1), come si è già detto, conduce al metodo di Cayley per la costruzione delle 
sostituzioni ortogonali destrorse. Infatti, se ne deduce 
S = 2Z- 1 — J, 
e questa, appunto, supponendo che Z sia una qualunque sostituzione propria pseudosim- 
metrica cogli elementi principali eguali a 1, è la forinola di Cayley. Del resto è facile di- 
mostrare direttamente che : 
'1 — Se Z è una qualunque sostitusione propria pseudosimmetrica cogli ele- 
menti principali eguali a 1, allora , posto 
S — 2Z- 1 - d , (2) 
si ha che S è una sostitusione ortogonale destrorsa. 
