Le soslituzion i ortogonali non cayleyane 
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Questo risultato non è che un caso particolare del cosiddetto teorema di Stieltjes l4 ;, 
che ne discende, del resto, immediatamente: 
•4 — Se S, e S 8 sono due sostituzioni ortogonali destrorse d'ordine n, il de- 
terminante | S, +S 2 non può annullarsi senza che non si annullino tutti / 
suoi minori d'ordine n — 1. 
Infatti, essendo 
* s ’i + ^'« -1 ^1 + ) » 
risulta 
I s, + tf t | = 1 S, | . 1 a *- 1 a, + ./ ì , 
e però la caratteristica del determinante Sì l S l J , mentre d’altra parte, essendo 
una sostituzione ortogonale, al determinante I *SY‘ -{- J | si può applicare il teorema pre- 
cedente. 
Risultati analoghi si ottengono considerando il determinante | S—J \ . Si dimostra 
infatti, collo stesso metodo, che : 
'5 — Denotando con v il determinante | S — J | e con v,. s /' aggiunto di quel 
suo elemento che appartiene alta riga r lma e alla colonna s l,,m , si ha 
[« + (- 1 )" J v rr = (- l) M v, sv r , =r (- l)"- 1 v, r , (;- .-|=s) • 
Pertanto : 
'6 — Se n è pari ed s~ — 1, avvero se n è dispari ed z — l, si ha 
V 0 , v r< Vj,,. , 
se invece n è dispari ed z = — 1 , ovvero se n è pari ed z — 1 , si ha 
1 
E se ne discende la proposizione : 
'7 — S<? T è una sostituzione ortogonale sinistrorsa di grado n dispari , il 
determinante | T — J | non può annullarsi senza che non si annullino tutti i 
suoi minori d' ordine n — 1 . 
4 . Estensione dei. teorema di Stiei.tjes — Noi estenderemo la prop. 3‘3 prendendo 
in considerazione un minore di un dato ordine del determinante | S -f- J . Supponiamo 
che questo determinante abbia la caratteristica p e consideriamo un suo minore M fJ . di 
ordine p , essendo p, 3 le due combinazioni a p a p dei numeri 1, 2,..., //, formate dagli 
indici delle righe e delle colonne cui il minore appartiene: 
P — i , 1 j » ••• 1 ^/)) j ^ , ^>2 , ... , S fi) . 
u ) Questo teorema fu enunciato senza dimostrazione da STIELTJES. per le sostituzioni ortogonali destror- 
se del terz’ ordine (Ada Matti., t. 6, a. 1883. p. 319). Esso fu dimostrato dal NETTO (ivi. t. 9, a. 1886. 
p. 295; t. 19, a. 1895, p. 105) e generalizzato dal TABER ( Proceed . o f thè London Matti. Soc., t. 27, a. 
1893, p. 613-621): rientra però in una prop. dimostrata parecchi anni prima dal VOSS (Matti. Ann., t. 13. 
a. 1878, p. 320). 
