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Michele Cipolla 
[Memoria II.] 
Se poi 8 si suppone reale e si osserva che 
(S - x J) (&_! + xJ) = x [ (S - S_i) - (x -~^)J J , 
e che »S — S_ } , essendo reale ed emisimmetrica, non può ammettere radici reali diverse 
da zero (l'4), si deduce che | S ■- xO | non può annullarsi per un valore reale di x se 
per questo valore non si ha x \ — 0, vale a dire se non è x — + 1 . 
3 . Il teorema di Stieltjes — Intorno ai minori d’ ordine n — 1 dei determinanti 
| ~J I e ò | 8- — J | si hanno notevoli proposizioni. Per stabilirle nella maniera più sem- 
plice denotiamo con [i,..., l’aggiunto dell’elemento di | tf-J-Zj , che appartiene alla riga 
r """ e alla colonna s‘" ui , ed osserviamo che |a,. s si può rappresentare col determinante 
d ordine n che si ottiene rendendo nulli tutti gli elementi della riga r una di j S-\-J | ec- 
cetto Vs tmo che si fa eguale a 1. Ed allora, se il determinante così ottenuto e il deter- 
minante | S | si moltiplicano per righe, e si pone, per semplicità, | S \ — s, j S-\-J j = ;j., 
si ottiene, se r~s, (Siacci) 13 ) : 
e se y ~|— 5 : 
( 1 -j— s) [■*-,./• — [j. , 
h/'s - p.y r • 
Allora, se s = — 1, si ricava |i = 0 (conforme al teorema di Brioschi), e \L ra — ; 
quindi : 
’1 — Se S è una sostila sione ortogonale sinistrorsa , il determinante aggiun- 
to di | S -f- J i è simmetrico. 
Se invece s = 1 , allora si ha: 
!■*■/•/• — P 1 !■*■/•» — Pòv 5 (3) 
quindi : 
'2 — L' aggiunto del determinante j S-j— J | , essendo S una sostituzione or- 
togonale destrorsa, è un determinante pseudosimmetrico cogli elementi principali 
eguali a — \ S -f- J | . 
Questa proposizione è quella che dà ragione del metodo di Cayley (art. 5) pei' la co- 
struzione delle sostituzioni ortogonali destrorse che non ammettono la radice — 1. 
Se poi n — 0, allora la prima (3) dà subito = 0, e poiché sono nulli tutti i mi- 
nori del second’ ordine dell’aggiunto di | S-\-J \ , dalla seconda (3) segue anche = 0; 
quindi : 
'3 — Se S è una sostituzione ortogonale destrorsa d'ordine n, il determinan- 
te | S -| J | non può annullarsi senza che non si annullino tutti i suoi minori 
d' ordine n — 1 . 
13 ) Annali di Mat., t. s, a. 1872, p. 302. 
