Le sostituzioni ortogonali non cayleyane 
e però all’insieme delle //* * condizioni (non tutte indipendenti): 
a rs = A , s , (r, s = 1 , 2 , ... »), 
e quindi anche all’insieme delle — n (n - f- l) condizioni (tutte indipendenti) u ): 
\ 1 , se r = s , 
fl/ i -f- -j- ... -f- rt. s „ ~ (r, 5=1, 2,..., ;/) 
1 0 , se r — |— 5 • 
Dalla (1) segue subito 
I 5 | = + 1 , 
donde la distinzione delle sostituzioni ortogonali in destrorse o sinistrorse , secondo che 
il modulo è uguale a -J- l o a — 1. 
Intorno alle radici di una sostituzione ortogonale si ha il seguente teorema di 
Brioschi ia ) : 
'1 — L’ equazione caratteristica di una sostituzione ortogonale è reciproca ed 
ammette sempre la radice — 1 se la sostituzione è sinistrorsa, e la radice -j- 1 
se è destrorsa di ordine dispari o sinistrorsa di ordine pari. 
Essa , inoltre , se la sostituzione è reale , non ammette radici reali diverse 
da -f- 1 e — 1. 
La dimostrazione di questo teorema si può condurre assai semplicemente così. Essendo 
(S — — *S_ i — xJ= S~ l — xJ = — .rS - ‘ (S J ) , 
si ha 
| S — xJ | = (—*)". | S | . | S - J | , (2) 
quindi ogni radice dell’equazione 1 S—xJ \ —0 è radice dell’equazione | S —J j =0, 
e inversamente, cioè l’ equazione caratteristica di S è reciproca. Facendo poi nella (2 
x— 1, e .r= — 1, si' ottiene 
1 s - ./ 1 
•[(- 0" 
0 
1 
Zi 
S + ./I .( | S| - 0 = 0, 
e però se 
(- ir 1 
ò’ | = — 1 , si ha 
1 
II 
0 
e se 
1 8\ 
= — l , si ha 
1 8 + J i =0; 
quindi: tanto se S è destrorsa di ordine dispari, quanto se S è sinistrorsa di ordine pari, 
si ha che -f- l è sempre radice di <S; e quando S è sinistrorsa, — l è sempre una sua 
radice. 
“) L’ indipendenza di queste condizioni fu dimostrata da Rados (MaUi. r. Natur-w. Ber. aus Vn?aru 
t. i6, a. 1898, p. 236-240. 
* 2 ) Journ. de LiouvilU, t. 19. p. 233. 
