Michele Cipolla 
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L’esistenza di sostituzioni ortogonali non cayleyctne non permise al Netto nel citato 
lavoro, per ragione, appunto, del metodo cui esso s’informa, di dimostrare completamente 
la prop. di Stiei.tjes: egli raggiunse il suo intento, parecchi anni dopo, per altra via * * * 5 * * ). 
Ma la questione della determinazione di tutte le sostituzioni ortogonali non risorse se 
non con la memoria di Lipschitz b ) sulla teoria della trasformazione simultanea di due 
forme quadratiche o bilineari. Quivi è completamente risoluto il problema della determi- 
nazione delle sostituzioni ortogonali simmetriche, per mezzo di proposizioni generali e di 
speciali nozioni, poste dall’ Autore a fondamento delle sue ricerche sulle somme di qua- 
drati '). Questa memoria del Lipschitz diede occasione al Kronecker di fare alcune in- 
teressanti comunicazioni all’ Accademia di Berlino 8 ). Egli mostrò come le sue ricerche 
sulla trasformazione delle forme quadratiche ben si prestavano alla determinazione delle 
sostituzioni ortogonali simmetriche, e fece anche varie osservazioni sulla rappresentazione 
della più generale sostituzione ortogonale. Fra 1’ altro egli dimostrò che una sostituzione 
ortogonale non cayleyana è sempre il prodotto di due sostituzioni ortogonali cayleyane. 
Ma una più semplice risoluzione del problema generale diede, poco dopo, il Prym 
Egli trovò che uno stesso principio fondamentale conduce tanto alla determinazione 
di tutte le sostituzioni ortogonali che alla determinazione di tutte le sostituzioni involu- 
torie (o di secondo grado) ; e il principio consiste in ciò che i 2 M determinanti che si ot- 
tengono da uno assegnato aggiungendo -|- 1 o — la ciascun elemento principale, non 
possono essere tutti nulli. Questa proposizione, che si dimostra assai semplicemente, con- 
duce subito al risultato intravisto dal Kronecker : 
Una sostituzione ortogonale non cayleyana si può sempre ottenere da una 
sostituzione cayleyana cambiando il segno , nella matrice di quest' ultima, ad al- 
cune righe (o colonne). 
La questione, però, richiedeva un ulteriore studio. Infatti, il metodo indicato da que- 
st’ ultima proposizione ha un doppio inconveniente: quello di non fornire sempre sostitu- 
zioni ortogonali non cayleyane, e quello di non dare per le sostituzioni stesse una rap- 
presentazione unica. In altri termini : può avvenire che una stessa sostituzione ortogonale 
si ottenga in vari modi da una matrice cayleyana, e cioè cambiando il segno o a diversi 
sistemi di righe o ad un numero maggiore o minore di esse. 
Col presente lavoro io mi propongo di completare la ricerca. Facendo uso di un’ e- 
stensione del teorema di Stieltjes che dimostro in modo semplicissimo per mezzo di una * 
proprietà dei determinanti caratteristici di una matrice , io ottengo un notevole perfezio- 
namento del teorema segnalato dal Prym, e lo pongo a base di una nuova classificazione 
in ispecie delle sostituzioni ortogonali non cayleyane. Raggiungo così, e in un modo che 
mi sembra notevole anche per la sua eleganza, il duplice scopo prefissomi, ciò quello di 
ottenere qualunque sostituzione ortogonale in un sol modo, e quello di esprimere negli 
°) Acla Malli., t. 19, a. 1895, p. 105; v. anche nota “). 
6 ) Malli, v. Natnr . Mitlheilungen aus dea Berlin Silz., a. 1890, p. 319-357. 
’) LIPSCHI I Z, Ihitersuchungen ilber die Suuimen von Quadrateli. Bonn. Cohen, a. 1886. 
S ) Malli, v. Baiar. Mitlheilungen aas dea Berlin Silz., a. 1890, p. 359-375, 389-395, 457-465, 567- 
579, 651-668. 
Ò Góttmgen Abhandlungen, t. 38, a. 1892, p. 3-43. Era già pronto il presente lavoro quando io ebbi 
notizia di questa Memoria del PRYM ; e debbo al cortese e sollecito invio che si degnò farmene 1 ’ Autore , a 
mia richiesta, se potei prenderne conoscenza in tempo. 
