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Le sostituzioni 
Nota di 
ortogonali non cayleyane 
MICHELE CIPOLLA 
Il problema della determinazione delle sostituzioni lineari ortogonali di un dato ordi- 
ne n fu, coivi’ è noto, risoluto parzialmente (n — 2, 3, 4) da Euler 1 ), il quale intravide 
anche la possibilità di esprimere gli elementi di una sostituzione lineare d’ ordine n , 
legati dalle 1 n (n -}- 1) condizioni di ortogonalità, mediante funzioni razionali di ;«(»- 1) 
parametri indipendenti. Ma vari ostacoli che, un secolo dopo, il metodo dei determinanti 
doveva abbattere, impedirono a quel sommo geometra di risolvere il problema in genera- 
le; tant’ è che la forinola stessa delle sostituzioni ortogonali quaternarie fu da lui ottenuta 
“ nulla certa metkodo sed fiotius quasi divinando 
Col sussidio, appunto, dei determinanti ottenne il Cayley 2 ) una soluzione generale 
del problema. Conforme alla previsione di Euler, egli mostrò come si può costruire una 
sostituzione ortogonale destrorsa, i cui elementi siano funzioni razionali di ' n (u — 1) 
parametri indipendenti, utilizzando convenientemente un determinante pseudosimmetrico di 
ordine il , cogli elementi principali eguali a 1. 
La forinola di Cayley non dà però tutte le sostituzioni ortogonali destrorse dello 
stess’ ordine u. Questo fatto importante (che pur si trascura di notare anche in trattati 
recenti) non poteva sfuggire a un ricercatore profondo come il Kroxecker. Si legge in- 
tatti in un lavoro del Netto 3 ), intorno ad una proprietà delle sostituzioni ortogonali, enun- 
ciata senza dimostrazione da Stieltjes 4 ), un’osservazione fatta all’Autore dal Kroxecker, 
e cioè che nella matrice di Cayley “ si possono mutare i segni a un numero pari di linee, 
senza che questa perda le sue proprietà caratteristiche, e senza che sia possibile dedurre 
la nuova matrice da quella di Cayley mediante valori finiti dei parametri 
Quest’osservazione, per quanto notevole, non è tuttavia nè completa nè esatta, perchè 
in essa non si afferma che tutte le soluzioni del problema si ottengono nell’indicato modo, 
mentre, d’altra parte, non è vero, in generale, che una soluzione ottenuta nella maniera 
anzidetta, non possa derivarsi senz’altro, con valori finiti dei parametri, dalla stessa for- 
mo la di Cayley. 
') Novi Comm. Petrop., t. 15. a. 1767. P- 75 = t. 20, a. 1772. p. 217. — Le prime proprietà delle so- 
stituzioni ortogonali furono stabilite da CAUCHY (Ex ore. do Malli., t. 4. p. 140) e da JACOBI {Crollo l 
t. 12, a. 1827, p. 7). 
*) Creile /., t. 32, a. 1846, p. 119. 
:t ) Acta Malti., t. 9, a. 1886, p. 295. * * 
*) Vedi nota i4 ). 
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