Sulle funzioni permutabili di seconda specie 
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e successivamente : 
n j,i — / Aj (r) (x) dx , cij'i— / Aj (x) <p, („r) rf.r (/',/ = 1,2, 
«V « . / V 
Poiché il sistema delle funzioni ortogonali , costituito dalle (2) e dalle (4) , è chiuso, 
si ha 
/ [Aj (*)px = Zi «J, + v, a* t 
J a 
0 = 1,2 ) 
a') 
Per la validità delle (7) è dunque necessario e sufficiente, che si abbia : 
’b 
Aj (•*)] 2 dx = Zi a]., (7—1,2, 
. « 
Analogamente, posto : 
( 10 ) 
r 
(y) = I <P (x, y) (x) dx 
(i= 1 , 2 ,....), 
e quindi : 
Cb :'b 
Ki = I B, (v) ’ii Or) rfy , b,.i = I B, (y) ì, ( y) cìy (ij =1,2, 
J a 
si prova che le condizioni (8) equivalgono alle altre 
( 8 ') 
j dy = 2j 
), 
(*'= 1 , 2 , . . . . ) 
Si ha così il seguente teorema : 
Affinchè la funzione $ (x, y) sia pennulabile con F(x.y), è necessario e suffi- 
ciente , che i suoi coefficienti di Fonder : 
( 9 ) 
Aj (x) = / <I> (x, y) Vj (v) dy 
. b 
U= 1 , 2 , ), 
rispetto mi y ed al sistema delle funzioni ortogonali (2), soddisfino all' equazione 
di chiusura di questo sistema : 
r * r 
I ( ‘ r ^1 dx ~ a * ’ n ' = I (* v ) dx ; 
