6 
Carlo Severini 
| Memoria XX.] 
Mi- 
eti analogamente : 
( 1 6) B, (y) = V l , l (y) + V, [ F s+1 _ ( (y) - F v ( ( y)] 
(« = 1,2, 
con 
& t y+hv 
K fl (y) = ^j2 ‘t\ b(y) d y 
('= 1,2 ), 
r — Ay 
ove le quantità a jt t , b u hanno il significato sopra detto, stabilito dalle (12). 
Le equazioni (11), (15) e (16) risultano equivalenti alle (6), (7), (8); ed è evidente 
che esse rappresentano le condizioni necessarie e sufficienti , affinchè la # (x,y) sia per- 
mutabile con F (x, y), anche quando i sistemi (2) e (3) risultano chiusi , nel qual caso 
vengono a mancare le condizioni (7) e (8) , e solo si ha da tener conto delle (6) 
In fine si osservi che se i sistemi (2) e (3) sono in particolare composti di un nu- 
mero finito ni di funzioni, le (15) e (16) vengono rispettivamente sostituite < * 8 > dalle equa- 
zioni 
(15') 
O O) - i ftj, ì (fi [x) 
0 = 1 , 2 , 
) 
(16') 
B > O) = Kì h (y) 
( l = 1 , 2 , ), 
Dopo ciò possiamo enunciare il seguente teorema. 
Affinchè la funzione ® (x, y) sia permutabile con F (x, y) , è necessario e suf- 
fidente che si abbia : 
(17) j <I> (x, v) <p j (y) dy = U hj (, x ) -f - v, ; 
J n 
V»+u (X) - Kj (X) 
(/= 1 , 2 , 
con 
1 
U \j — 2 h v a >’i I Vi O) , 
A" — A v 
analogamente : 
(18) 
j ’l’lx.y) <M.r) tìx=v lfl (y)+y., (y) - K, ( (y) ' 
(« = 1,2 ) 
con 
K fi (y) = 
A 
2/r„ 
>+A v 
4*./ O) rfy 
J y—h v 
(8) Cfr. C. SEVERINI, I. C. (7). 
