Sulle funzioni permutabili di seconda specie 
i 
ove, come sopra, si è posto : 
n> , ‘6 
a J, i — / / ® (•**, v) 9, Or) cp ; ( a-) </.v dy 
a J a 
iij=\,2, .... ) 
ed 
li, , li 
2 » 
k. 
è una successione, comunque scelta, iti numeri positivi , decrescenti , tendenti a 
zero. 
Se in particolare i sistemi (2) e (3) si compongono di un numero finito m 
di funzioni, le precedenti equazioni (17) e (18) divengono: 
(17') 
' b 
( l> (x,y) cp, ( y) dy = y, a jti 9, (x) 
1 
(7 = 1 , 2 , , ///) 
(18) 
eh 
»*' a, i 
<J> ( x - 3 ') 4 >« (*) dx — X, ^ -y- ^ (v) (/ = 1 , 2, ni). 
1 j 
./ a 
4. — Possiamo ora facilmente dedurre le relazioni, alle quali occorre che soddisfino, 
insieme colle (2) e colle (3), le coppie di autofunzioni ortogonali di un sistema completo 
del nucleo $ (x, y) , affinchè questo sia permutabile con F (x,y). 
S’ indichi con : 
(19) 
«, (x) , e, (x) .... 
• • • , (.r) , . 
(20) 
X, (X) , T. (x) , . . . 
un tale sistema completo di coppie di autofunzioni ortogonali del nucleo (x,y), e con 
! A , , !*••■> 
la successione dei corrispondenti autovalori, per i quali si ha 
db 
Q r ( X ) = |A r / <I> (x,y) x r ( y) dy 
J a 
db 
(r= 1,2, 
~r (x) = |1,. / 'I 1 ty.x) 6 r (y) dy 
