Su /le [unzioni permutabili di seconda specie 
e Li (17) e la (18) assumono quindi la forma 
(17") 
'b 
(j) 
<l) (- r ’ v ) ?J (y) dy = 2i (*u «Pi (a?) (j— 1,2, , ), 
(18") 
U) 
<p (y> •*■) <PJ (y) dy = Zi a u <p ( (x) 
0=1,2, ,), 
la somma Z ( f intendendosi, per ogni j fìsso, estesa a tutti i valori di /, pei quali risulta : 
\ \ ■ 
Queste condizioni possono anche più brevemente esprimersi, dicendo che i coefficienti 
di Fourier 
Cb 
(9) 
A i ( x ) — / $ (x,y) <p, (y) dy 
(y=l,2, ) 
( 10 ) 
(■**) = / <I> ( y, x ) (pj (y) Ri- 
sono soluzioni delle corrispondenti equazioni integrali omogenee 
gb 
? UO = h / ^ U\ y) 9 (y) i/y 
« 
o= i 
), 
con che si arriva al seguente teorema : 
Affinché la funzione ( I>(x,y) sia permutabile colla funzione simmetrica F (x,y), 
è necessario e sufficiente , che i suoi coefficienti di Fourier 
(9) 
( 10 ) 
Aj (x) = I < 1 > (x,y) <p j (y) dy 
J a 
r 
Bj (x) = / O (y, x) 9 j (y) dy 
0 = 1 , 2 , 
rispetto al sistema delle funzioni ortogonali (23), soddisfino, per ogni j fìsso, alle 
corrispondenti equazioni integrali omogenee 
f" 
o (x) — \j F (x, y) 9 (y) dy = o 
0 = 1 , 2 , ) 
ATTI ACC, SERIE V. VOL. VII — Mem, XX. 
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