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Cmlo Sederini 
| Memoria XX. ] 
Il teorema del § 4 si semplifica anch* esso notevolmente nel caso presente, e diviene : 
Affinché la funzione <I>(x,y) sia permutabile colla funzione simmetrica F(x,y) 
è necessario e sufficiente , che si abbia : 
U) 
*— ' Hi 9 ' ( x ) 
(J== 1 , 2 , .... ) 
U) 
^ 1 a ìj 9 < [x). 
Ulteriori semplificazioni, che è superfluo indicare, si presentano nei due precedenti 
teoremi, se si aggiunge l’ipotesi che anche la $ (x,y) sia simmetrica: coincidono allora 
i due sistemi (19) e 20), e le due funzioni F (x,y), d> (x,y) hanno ufficio scambievole. 
fà 
/ <?J (y) ~r ( y ) dy 
J n 
2 '• ~~ I 9/ (y) 6 r (y) dy 
J a 
li. Riceica delle t unzioni permutabili con una funzione data. 
6. — Riprendiamo le equazioni (6), (7), (8), contenute nel teorema del § 1. 
riassumiamo, secondo una legge qualsiasi, le tre successioni 
(24) 
?i(x)?j(y) <|>, (x) ( y) - 
X, 
>v 
9 » (x) <fj (y ) , (x) (y) 
(i,J= 1, 2, 
e in un’ unica successione 
( 25) fi ( x ’y) > A (x,y) , ,f n (x,y ) , , 
ed, escluse dalla (25) quelle funzioni, che risultano combinazioni lineari delle precedenti, 
ortogonalizziamo la successione delle rimanenti. Sia 
(26) Si (-U-V), g z (x,y), , g n (x,y), 
la nuova successione, così ottenuta. 
È chiaro che le dette equazioni (6), (7), (8) equivalgono alle altre 
(27) 
v> ri> 
O (x,y) g n (x, y) dx dy = o 
(» 
9 
(28) 
( 29 ) 
Nel caso che la F{x,y) sia simmetrica, alle (24) si sostituiscono le successioni 
9' (*) 9# (y) (i,j= 1,2, ; X, = | = fi) 
9 1 ix ) 9 j (y) t 9 / (x) (y) (i, j— 1,2, .... ) , 
