Sulle funzioni permutabili ili seconda specie 
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ed 
a causa della (34) : 
^1 (-cy) — li i,i (.v,v) -j- 2’ v | 
+ V p [ w, if+l (x,y)~ 
-^P ) [ ^ '+ 1 , P+I 
«V, a-,y)-W., tl {x,y)\ + 
Wi.f (-»’,>')] + 
{x,y)-W„. U;j (x#)-W,' Ht (xj) + IF v . r ,(-rj’)] ; . 
Concludendo si ha pertanto il seguente teorema : 
Le funzioni ( 1* (x, y) permutabili con I 1 (x, y) sono tutte e sole te funzioni rap- 
presentate dall' espressione 
G (x,y) - W UI (x,v) — £ 
(35) 
’v [WVf-i.. (^-^v.x^V)]- 
[ 1 v x , p+ x (- r » y ) — w i tP (x, y)] - 
) 2y [ h v+l ? p Il y _|_j p 
(.r,v)— lC v p+I Cv.y)H-li; p (.v,y)] j, 
ove si è posto 
rt> r/> 
gu (S, ‘0 dr t , A rl = / G (x,y) g„ (x,y) dx dy , 
a J a 
• ), 
G(x,y) essendo una funzione arbitraria, sommabile insieme col suo quadralo, ed 
> L 2 i 1 lly , 
j ^2 > » Lp 
successioni, comunque scelte, di numeri positivi , decrescenti, tendenti a zero. 
8. — Se la funzione F(x,y) è simmetrica, per il modo come viene allora formata la 
successione (26), il cambiarvi fra loro x ed y porta solo un mutamento nell’ ordine dei 
termini di questa successione. Posto : 
( 36 ) gn (x,y)=g Pn (y,x) 
se si suppone che anche G (x, v) sia simmetrica, risulta : 
(» = 1,2, ), 
rb rb 
(37) A òn = 
b rb 
pn — / / G(x,y)g Pn (x,y) dxdy= G (x,y)g n (x,y) dx dy = A n 
a J a J a J a 
(«=1,2, ) , 
cioè i coefficienti A„ sono a due a due fra loro eguali. 
