Sulle fu listoni permutabili di seconda specie 
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I.e funzioni simmetriche <l> (x, y) permutabili colla funzione simmetrica F (x,y) 
sono tulle e sole le funzioni rappresentate dall' espressione (35) , considerata 
nel pi ^cedente teorema , quando come funzione G (x, y) vi si consideri una fun- 
zione arbitraria, simmetrica, sommabile insieme col suo quadrato. 
9. — S* indichi con : 
(38) 
g t (x.y),g t (x,y). 
g, t i-y.y ) , 
un sistema complementare per il sistema delle funzioni ortogonali (26) 17) . Questo siste- 
ma è unico, nel senso che, trovato un tale sistema, ogni altro sistema complementare, o 
meglio ogni altra soluzione effettiva delle equazioni integrali (27), può esprimersi me* 
diante le (38). In paiticolaie, nel caso che queste siano in numero finito, ogni altro siste- 
ma complementai e viene a contenere lo stesso numero di funzioni j questo numero è per- 
tanto indipendente dal modo, col quale il sistema complementare viene realizzato. Tutto 
ciò lisulta dalle considei azioni, che andiamo ad esporre, le quali conducono ad una nuo- 
va espressione della soluzione generale delle equazioni (27). (l8) 
Per una data soluzione effettiva <I> (. x,y ) di tali equazioni si consideri la successione 
;'b 
rb 
S„, (x,y) — 21 h B„ gn (x, y) , tì„ = 
‘I* (x,y)g„ (x ,y) dx dy, 
convergente in media nel campo (1) ad una funzione *1* /■ , v), unica e ben determinata, 
se si eccettuano i punti di un insieme di misura nulla, sommabile insieme col suo qua- 
drato (19) , alla quale compete (§ 7) la rappresentazione: 
V(x,y) = W\ t (x,yj -|- v v [ »' V+I>1 (x,y) - W y i (x, y) ] + 
(39) + - P [ U ’x. p+x ( x , y) — W\ p ( x,y ) ] -f 
+ ì -l’v[»W.,p+ X - JP'v+ r .p(.V,y) — H 'v.p+r {x >y) -f W 'y,p(x,y)] \ 
ove : 
I A ~+ f, v p 
fay) = 4/ / ;V ~ B>i \ I ùd r t 
1 J .v-h v J v—tp 
(»■ P= 1,2 ), 
e le lu , kp conservano lo stesso significato del § 7. 
Se in particolare la serie B„ g n (v,y) converge nel campo (l), ovvero le (38) 
sono in numero finito, si può anche scrivere : 
(39') V (x ,y) = 2„ B„ g„ ix,y), 
(17) Cfr. G. LAURICELLA, loc. cit. 5. $ 1-3 — C. SEVERINI, loc. cit- (5), \ 9. 
(18) Cfr. C. SEVERINI, loc. cit. (il. Nota II, & 1-2. 
(19) Cfr. G. LAURICELI.A, loc. cit. (io). 
