Sulle funzioni permutabili di seconda specie 
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Da ciò si deduce che , se ( D òr, v) è una funzione simmetrica, permutabile colla funzione 
simmetrica F (x, v), e si ha : 
(48) 
(y,x)=zg qn (.r, v) 
(« = 1 , 2 , 
), 
deve essere ($ 8) : 
r /•* 
1>{x,y)g <ln (x,y)clxdy= | 4> U\ y) g n (x, y) dx dy = B„ 
a . a 
c/ %t 
(n =1,2, 
), 
cioè i coefficienti B a risultano due a due fra loro eguali. 
Viceversa si scelgano le costanti (43) in modo che, ferma restando la condizione 
che converga la serie dei loro quadrati, si abbia, in relazione alle (48) : 
( 49 ) C n = C qn (« = 1,2 ). 
La corrispondente funzione <I>' 4 (:r, v), permutabile con F(x.y) ($ 9), a causa della 
convergenza assoluta (§ 8) della serie 
V r- 
— H V. 
(s, r t ) dr { 
i > 
risulta necessariamente simmetrica. Si ha così il seguente teorema : 
fé funzioni simmetriche <I> (x,y), permutabili colla funzione simmetrica F (x, y), 
sono tutte e sole le funzioni rappresentate dall’ espressione (45), considerata nel 
precedente teorema , quando le costanti arbitrarie C„ , ivi contenute , soddisfino 
in più alle relazioni 
(49) 
Cn 
<» = 1,2, ), 
posto che si abbia : 
(48) 
[y.x)=g 9n (x,y) 
(n = 
i — i 
) 
Le condizioni (49) vengono a mancare ed ogni funzione permutabile con F (x, y) è 
necessariamente simmetrica, se simmetriche sono le g„ (x. v). E questo ii caso di un nu- 
cleo F òr, v) simmetrico, chiuso, di cui ogni autovalore abbia come indice 1’ unità, perchè 
allora risulta: 
òr, y) = òr) ( v) 
(«= 1,2 ). 
