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Carlo Severini 
[Memoria XX.] 
Si può dunque aggiungere il risultato: 
Sé? F (x, y) è un nucleo simmetrico , chiuso , di 
indice l unità , tutte le funzioni permutabili con F 
cui ogni autovalore abbia come 
(x, y) sono simmetriche. 
11. Con ciò che precede il problema della ricerca delle funzioni permutabili colla fun- 
zione data F (x, y) si può dire pienamente risolto. Giova ora analizzare i due differenti 
modi di rappresentare la soluzione generale del problema, cioè le espressioni (35) e (45), 
d.pendenh, la prima da una funzione arbitraria G (x, y), sommabile insieme col suo qua- 
drato, la seconda da un insieme finito o numerabile (43) di costanti arbitrarie, soggette 
alla condizione che converga la serie dei loro quadrati. Quest’ ultima espressione, per il 
nu do stesso come e stata ottenuta, fornisce sempre, per ogni sistema di valori assegnati 
aMe costanti (43), una soluzione effettiva delle equazioni integrali (27), cioè una funzione, 
c le non e quasi da per tutto eguale a zero, permutabile con F (x, v). Di più ognuna di 
taL funzioni ’ Permutabili con F (x, y) ) viene dalla (45) fornita una sola volta. 
Altrettanto non può dirsi della (35). A prescindere dal fatto che non sempre essa ci 
da una soluzione effettiva delle (27), la (35) presenta in più 1’ inconveniente di fornire 
infinite volte una medesima soluzione effettiva. Si consideri infatti una funzione qualsivo- 
glia G (x, y), sommabile insieme col suo quadrato. La soluzione delle equazioni (27), che 
ad essa fa corrispondere la (35), è data dalla differenza 
(31) 
G (x, y) — G t (x, v) , 
ove 6Q (x, y) è (§ 7) la funzione, alla quale, nel campo (1), converge in media la suc- 
cessione (30). La funzione (31), supposto che non risulti quasi da per tutto eguale a zero, 
viene evidentemente rappresentata dalla (45), quando, in luogo delle costanti C n , vi si so- 
stituiscano i suoi coefficienti di Fonder , rispetto al sistema delle funzioni ortogonali (38) 
G (x, v) — G l (x, y) 
& ri 
(x, y) dx dy 
(// 
= 1 , 2 , 
), 
che coincidono coi corrispondenti coefficienti di Fourier della G (x, y) 
G (x, y) g n (x, y) dx dy 
Gì — 1 , 2 , 
Dall’ eguaglianza (§ 7) 
lini 
m = co 
A n gn U\V) 
" 2 
dx dy =. o 
