Sulle funzioni permutabili di seconda specie 
21 
si ricava infatti (§ 9): 
6 dà /•{, rb 
(x,y)g,, (x,y) dxdy = v„ A n / / g, t (x } y)g„ (x,,y) dx dy — o 
a J a 
e quindi : 
J a J a 
[p= 1,2, ) 
_ r r 
D a — G (x, y) g M (x, y) dx dy 
J « J a 
(« = 1 , 2 ,....) 
Se ne deduce, per quanto è stato dianzi detto, che un’ altra funzione G' (x, v) som- 
mabile insieme col suo quadrato, fornirà la stessa soluzione delle (27), corrispondente a 
G (x, y), allora e solo allora, quando si avrà: 
gn U\ v) dx dy = o 
hi = 
1 , 2 , 
) 
quando cioè G' (x, y) differirà da G (x, y) per una soluzione effettiva delle equazioni in- 
tegrali 
( 50 ) 
r* 
» (-r, v) gn (x,y) dx dy = 0 
a 
(n = 1,2, 
Risulta altresì da quanto precede che, se si ha quasi da per tutto G (x,y) — G { (x, y) = o, 
deve necessariamente la G ( x,y ) essere una soluzione effettiva di queste equazioni (50). 
Viceversa se : 
•a 'b 
/ G (x, v) g n (x, y) dx dy = o [n = 1,2, ), 
a J a 
osservando che il sistema delle funzioni ortogonali (26) è complementare pel sistema (38), 
con ragionamento perfettamente analogo a quello svolto nel § 9, per provare l’ equaglianza 
fra le due funzioni <I> (x,jy), (x,jy), si arriva subito a concludere che è G (x,y) — 
— G 4 {x,y) — o. 
Si può aggiungere che la soluzione generale delle equazioni (50) è rappresentata (§ 9) 
dalla seguente espressione 
r,., (x,y, + 2„[T^ t (x,y) - r v ., (.r, y)] + v p [ (x,y) - T, tf (x,y)] + 
■ r p ' -i v [ ^vq-i, pH-i ^ » y 1 p 1 ^v,p-f-i hi ,y) -j- p x,y) J j , 
