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Giorgio Aprile 
[Memoria XXII.] 
mostra che viceversa ogni superfìcie di quel tipo si può considerare quale contorno appa- 
rente di una siffatta varietà Y. 
Nel Cap. IV si da un cenno delle trasformazioni doppie triple e quadruple dello spazio 
alle quali si perviene proiettando la verietà Y dal punto P, nei tre casi accennati nel pre- 
cedente Cap. 
i La pnma tras formazione porge 1' occasione di costruire una superficie d’ ordine 5, con 
OO 1 coniche giacenti, a coppie, in piani di uno stesso fascio, la quale superfìcie, inoltre 
possiede come doppie una cubica gobba ed una corda di questa ed ha quattro punti tripli. 
CAP I. 
Costruzioni e proprietà. 
1. — Sia r una varietà del 4° ordine, di S 4 , con rigata cubica normale doppia cp, e 
P un suo punto generico. Detto a l’unico piano passante per P e secante cp lungo una 
conica, ogni i aggio di o uscente da P ha più di quattro punti comuni con T, cioè 3 giace 
in T , e poiché P è punto generico di questa si deduce : 
La varietà F ammette oo 1 piani; ognuno di questi seca <p lungo una conica. 
Per ogni punto di cp passano due piani non cospaziali di T le cui coniche, non de- 
generi, hanno quel punto a comune. 
Detto a, a due piani generici di T e c, c le coniche cp 3 , epa' rispettivamente 
pei ogni punto 1 die passa, oltre 3, un solo altro piano ~ di T variabile con P e secante 
c in un punto P. La retta PP non è, in generale, generatrice di cp, sicché detta p 
la generatrice di cp passante per P, e P" il punto pc\ al variare di P in c varia la cop- 
pia P , P in c . I due punti uniti della corrispondenza biunivoca fra i punti P' P" in 
in tal modo stabilita, forniscono due sole generatrici t, t { di cp giacenti in due piani x 
di r, piani cospaziali poiché hanno la direttrice d di cp a comune • cioè 
La varietà T ammette due (soli) piani cospaziali : essi sono i soli a conica 
(di cp) degenere e passano per la direttrice d di cp. 
Tali piani ed il loro spazio sai anno chiamati singolari di T ed indicati con x, x 4 p 
rispettivamente. 
3. Lo spazio singolare p seca Y nei predetti piani e in una quadrica q le cui due 
schiei e indicheiemo con I e 4 1 i ispettivamente j T essendo quella a cui appartengono 
le generatrici t, h predette. — Evidentemente i raggi di T x sono tracce su p dei piani di 
r, sicché 
Esiste una schiera T di rette incidenti a tutti i piani di Y e genericamente 
non poste in alcuno di essi : tale schiera appartiene allo spazio singolare di Y e 
contiene le due generatrici di cp giacenti in tale spazio ( x ). 
(’) L’esistenza di tale schiera X F si può dimostrare anche direttamente. Basta difatti osservare che le 
rette incidenti a quattro piani generici dell’ S 4 formano una varietà cubica dell’ (Cfr. SEGRE Sulle varietà 
cubiche dello spazio a quattro dimensioni Memorie R. Acc. Scienze di Torino 1889); sicché, considerando 
quattro piani di I\ la varietà cubica che ne risulta incontra T nella cp contata due volte, nei quattro piani 
predetti ed in una quadrica residua, luogo di quelle rette. 
