Sulla varietà , dell' S ( , del quarto ordine con rigala cubica normale doppia 
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presentativi anche delle coppie di generatrici della f 3 uscenti dal punto che si con- 
sidera. 
Detta le, la cubica sezione di f, con un piano v generico di a, la immagine 
le, sarà una cubica del piano a, avente un punto doppio in G (G’—ga), ivi tangente 
alla coppia di rette immagini del punto doppio le, (n. prec.), e passante semplicemente ( 15 ) 
per i punti P' , P',, (n. 20). 
-U. Se v è piano tangente ad /, in un punto M che non appartenga a nessuna 
delle due direttrici rettilinee, la cubica piana y f, risulta costituita dalla generatrice ;;/ di f, 
uscente da ìli, e da una conica le z , aventi per immagine rispettivamente: una retta m del 
fascio (G) ed una conica passante per G' , P', P\ e tangente ( 16 ) in G' al raggio m\ 
coniugato ad ni nella involuzione /'. Discende di qui: 
La conica e di ri considerata nella f, di a ha per immagine in ai la conica 
c, passante per P', P'„ R', G', e tangente in quest' ultimo punto alla b', (n. 23 a), 
e viceversa. 
Inoltre risulta facilmente che gli oo* (**) piani di a uscenti dal punto A=gd determinano 
tutte e sole le sezioni piane di fa ognuna delle quali è rappresentata da ciascuna della 
oc 2 rette di a. E viceversa. 
Ed ancora, poiché le rette tangenti alla conica c immagine di c in a sono proiezioni, 
da A , delle tangenti alla conica c ed anche immagini delle sezioni di f, con i piani pro- 
iettanti; segue: ciascun piano del cono proiettante l’inviluppo di raggi della conica c dal 
punto A seca fa in una cubica tangente al relativo raggio dell’inviluppo predetto, nel 
punto di contatto con la conica. 
26. — Sia S uno spazio qualunque dello stelloide (d) avente la direttrice di 9 quale 
sostegno: la rigata del 4° ordine / 4 =or risulta della 5 a specie di Cremona ( 17 ), 2 a Cayley ( l8 ). 
Per quanto precede tale f i è rappresentabile birazionalmente sul piano della stella 
{D , Q ). Al variare di 5 in (d) il relativo piano di rappresentazione percorre la stella (£),' £>') 
traccia di (d) in < 2 '. 
Inoltre poiché ciascun piano di 0 passante per d seca /, = T5 ulteriormente in una 
conica, e in una retta uscente da D\ si ha : 
i raggi della stella (D'. Q') risultano immagini delle coniche di V complanari 
con la direttrice di 9. 
27. — Se v è un piano qualunque di 0 e ìe K la sua quartica sezione con T, ciascun 
piano del fascio ( 5 , 5), 5 essendo la retta comune a 5 e ", seca k K in terne ( J9 ) di punti 
variabili con esso, ciascuna delle quali proiettata dal punto A, comune al piano che li de- 
termina ed alla direttrice d di 9, dà su 3 ' tre punti allineati col punto sp'=S\ cioè appar- 
tenenti a raggi del fascio sezione di 0 ' con (p, £P). 
In tutto 3 + 1 + 2=6 condizioni per cubiche piane. 
( IC J V. CREMONA. — Su/lf superficie gobbe del terzo ordine (Atti R. Istituto Lombardo 1861). 
( ,7 ) V. CREMONA (Memorie di Bologna 1868Ì. 
(**) V. Cayi.ey (Phil. Transactions of thè Rovai Society of London 1869). 
P 9 ) Un punto cade sempre su s. 
