Sulla varietà , dell' S 4 del quarto ordine con rigala cubica normale doppia 17 
,- aggi uscenti da P ed appoggiantesi a due generatrici sghembe di contatto. Difatti un 
raggio s uscente da P ed appoggiantesi a due siffatte generatrici, giace nei due spazi 
tangenti a 1 uscenti da P e passanti per i piani di V ai quali appartengono le predette 
generatrici : per cui r incontrerebbe la varietà in P e ulteriormente in due punti ciascuno 
da contare per due. 
44. Discende pertanto che i punti doppi di f 4 sono tutti e soli quelli dovuti alla 
traccia su ~ 4 dei raggi uscenti da P ed aventi un contatto tri punto con V e fuori 
di P, sicché; esiste una curva doppia per ft . Per determinarne l’ordine consideriamo uno 
spazio « passante per P e tangente altrove a 1 ; esso seca la varietà in un piano a ed 
in una rigata cubica/, (n. 12). 
Detta s, la proiezione del raggio di contatto 5 di a da V su S2 4 , c la conica di a e 
k quella del piano sP\ dei due punti sk, uno appartiene alla direttrice doppia g della /à, 
1 altro è punto di contatto S del piano (*')) Ps con la / 3 , epperò fornisce un punto dop- 
pio S, di y 4 , punto della generatrice s r 
Proiettiamo ancora da L* la conica c di 3, otterremo un cono quadrico il quale in- 
contra la / 3 in una sestica dalla quale si stacca la conica predetta e la generatrice di f 3 
uscente da la cubica gobba residua incontra la conica di a in tre punti uno dei quali 
appartiene alla direttrice doppia g della / 3 , mentre gli altri due sono d’incontro tripunto, 
con r, per il corrispondente raggio uscente da P. 
Evidentemente non ne esistono altri, cioè il piano aQ l contiene tre punti doppi della 
Y. t ; per cui: la curva doppia di f, è del 3° ordine. 
Inoltre poiché il piano Ps, in generale, non è bitangente alla/,, non contiene oltre S 
alcun altro punto che proiettato da /' dia un raggio a contatto tripunto fuori di P, cia- 
scuna generatrice 5, di f 4 contiene un sol punto doppio ; ciò basta per concludere che 
La superficie y, contorno apparente di T, da un suo punto semplice P su uno 
spazio Q, , è una sviluppabile del 4° ordine e della 3 a classe. 
45. — Viceversa : ogni sviluppabile y del 4° ordine e della terza classe si può 
considerare come contorno apparente di una varietà T da un punto semplice di 
questa . 
Basta difatti osservare che due cubiche gobbe sono proiettivamente identiche, e quindi 
qualunque omografìa di S 4 che muti la sviluppabile y 4 nella data Y, trasformerà altresì la 
varietà V in un’ altra pure del 4° ordine, con rigata cubica normale doppia, avente y quale 
contorno apparente. 
46. — Sia P un punto generico, non appartenente alla varietà: il contorno appa- 
rente y 6 di T rispetto a P su uno spazio non passante per P, è una sviluppa- 
bile d' ordine sei. 
Di fatti un piano generico uscente da P seca T in una quartica con tre punti doppi, 
la cui classe è sei. Che Y tì s * a sviluppabile risulta dal fatto che ogni spazio a tangente a 
T e passante per P fornisce un (solo) raggio di contatto 5 la cui proiezione 5 , da P su 12, 
è generatrice di Yg, mentre, contenendo tale spazio una rigata cubica /., di T, il cono tan- 
(•') CREMONA. Sulle superficie gobbe del ter fi* ordine (Atti R. Istituto Lombardo 1861). 
ATTI ACC. SERIE V. VOL. VII — Meni. XXI. 
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