Sulla varietà , dell S ( , del quarto ordine con rigata cubica normale doppia 19 
e quelli A , A\ dello spazio 9' in cui si 
spondenza o trasformazione doppia ( 31 ) 
sommariamente. 
è rappresentata la varietà (n. 19). l'ale corri- 
i dello spazio 9, nell’altro 9' qui studieremo 
50. Se X è un piano generico di 9 0 X la superfìcie del 5° ordine immagine nello 
spazio Q' della sezione di T con lo spazio P\ (n, 36), saranno X, X' forme corrispondenti 
nella trasformazione doppia. Inoltre ad ogni retta r di Q, corrisponde in Q' la curva ra- 
zionale del 7° ordine, immagine in 9' della sezione di T col piano rP, (n. 28), sicché ( 3 *). 
La 1 1 asfoi mozione doppia 1 è del 5° ordine e di genere sero. 
Inoltre la T sarà chiamata trasformazione razionale perchè razionale è la varietà 
F, mediante la quale essa si può ottenere nel modo sopradetto. 
51. — Essendo 7 ., il cono quadrico contorno apparente di E da P su 9, (n. 38), esso 
è tale che i due punti di 9i corrispondenti ad un suo punto qualunque sono infinitamente 
vicini, e quindi costituisce la superficie limite ( 33 ) di 9 r 
o2. Indichiamo con 7 la superficie doppia di 9 cioè la superfìcie che corrisponde 
in 9 alla superficie limite 7 * di Q it — ed osserviamo che alle oo 1 generatrici del cono 7 ., 
corrispondono nella T co 1 coniche di 9' passanti tutte per il punto D' (n. 29). 
Inoltre poiché le generatrici di contatto che proiettate da P datino le rette di 7 ,, si 
appoggiano tutte alla generatrice g di 9 uscente da P, si ha che le co 1 coniche predette 
passano (n. 29) anche per il punto =g9'. 
Proiettiamo le generatrici di 7» dal piano gd~ s, (d direttrice di 9 ), passante eviden- 
temente per il vertice (f di 7 ,; si otterrà un fascio (e; di spazi. Ciascuno spazio p ditale 
fascio seca il cono 7 ., in due generatrici, alle quali corrispondono in £>' due coniche en- 
trambe del piano P9', (n 1 . 26 e 29). Al variare di p in (s) il piano p9' percorre il fascio 
(e) traccia di (sì in Q'; sicché: 
La superfìcie 7 ' ammette una semplice infinità di coniche tutte passanti per i 
due punti G' , D, e giacenti a coppie in piani del medesimo fascio. 
Indichiamo con (e t ) il fascio di piani traccia di (s) su ed osserviamo che facendo 
corrispondere i piani di (ef) con le coppie di generatrici di 7 , giacenti in tali piani, viene 
assegnata una corrispondenza ( 1 , 2 ). 
E poiché le generatrici di 7 ., risultano riferite proiettivamente ai piani di T (n. 14), 
e questi ultimi sono rappresentati in 9' dalle quadriche del fascio - , risultano anche {e) 
e X! in corrispondenza ( 1 , 2 ); sicché: 
La superfìcie 7 ' risulta luogo delle coniche con.uni ai piani del fascio (e) ed 
alla coppia di quadriche omologhe del fascio - in una corrispondenza (/, 2) fra 
loro assegnata. 
Tale corrispondenza la indicheremo con «j. 
Da siffatta costruzione risulta : 
( 31 ) La teoria generale delle trasformazioni doppie è dovuta al DE PAOLIs. le trasformazioni doppie 
dello spazio. (Acc. Lincei 1885). 
( 32 ) DE PAOUS, toc. cit. 31) n. io. 
f 33 ) DE PAOl.is, loc. cit. 31) n. 2. 
