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Giorgio Aprile 
(Memoria XXII.] 
a) Essendo r una retta generica di 9', A un suo punto qualunque, a il piano di {e) 
passante per questo, ed cq, cq le due quadriche corrispondenti in co al piano a , si otterrà 
una corrispondenza (1, 4) fra i punti A di r e la quaterna di punti in cui V incontra 
a >» w 2 > conispondenza ammette 5 coincidenze, sicché: 
La superficie ■{ è d'ordine 5. 
!>) Ripetendo le precedenti considerazioni per un punto A generico della quartica p'c. 
base del fascio X risulta: 
La superficie 7' ammette una curva doppia del 4 ° ordine costituita da una 
cubica gobba e da una sua corda. 
_ c) Risulta ancora dalla costruzione predetta che la retta e sostegno del fascio (e) ap- 
pai tiene a i ed e semplice per questa: per cui ciascun piano a di ( e ) incontra f nella 
coppia di coniche predetta e nella retta e = G' D\ cioè: 
La superficie 7' ammette i due punti G' , D' quali punti tripli, 
d) Inoltre si osservi che le due generatrici di contatto degli spazi P~ , P~ l , proiet- 
tanti i piani singolari x, t, di T (n. 2), danno luogo a generatrici di Ta le cui coniche 
corrispondenti in T risultano costituite dalle due coppie di rette in cui gli spazi predetti 
incontrano i coni iV 3 , P\c\ rispettivamente (n. 29). Osservando ancora che la coppia di 
piam t ' i f . lCCia d ‘ dettl spazi su Esulta costituita dai piani tangenti a ed uscenti dalla 
I6tta ( ' G f D fi’ traccia del P lano su Pi» si conclude che i piani, traccia dei medesimi 
spazi su J, Esultano tangenti alla superfìcie doppia 7' lungo le coppie di rette predette. 
Per cui : 
. La SUperfÌcle 7 nsulta tangente ai due piani eP\ eP\ lungo le due coppie di rette 
P L> , P G' e P y D', P^G' rispettivamente. 
e) Osservando che detta q la tangente a c' 3 nel punto P\ i piani : p'q , p'G ' , p' D' 
secano 7 in curve aventi P' come punto triplo, e che altrettanto può dirsi per P\ , si ha : 
I due punti P\ p\ sono tripli per 7'. 
f) I due piani pG e pD , avendo ciascuno a comune con 7' la p' , (doppia), ed 
una coppia di rette, incontreranno ulteriormente 7' in due rette u ' , v uscenti da G' , D' 
rispettivamente. Per cui : 
Per ciascuno dei due punti tripli G', D' passa una terna di rette della 7' complanari 
con la retta doppia della medesima. 
g) Dimostriamo per ultimo che ogni superficie f d’ ordine 5 che ammetta come dop- 
pia una cubica c 3 gobba ed una corda p di questa, e come tripli : i due punti in cui 
questa corda si appoggia alla cubica, ed altri due punti D e G di questa, si può gene- 
rare nel modo indicato al principio di questo n° . 
Di fatti un piano \ passante per la retta GD = e incontra f nella retta e e in una 
quartica costituita da una coppia di coniche, dovendo tale quartica ammettere i quattro 
punti doppi c 3 p. 
Sia /j una di tali coniche ed A un suo punto generico ; per tale punto passa una 
sola quadrica del fascio X avente pc z per base, quadrica che seca \ in una conica coin- 
cidente con l L . Viceversa questa quadrica seca fi fuori di c 3 p, nella sola conica l L . 
Si conclude quindi che : 
Ln fascio di quadriche X avente per curva base una cubica gobba ed una 
( 34 ) Difatti 
piani traccia su degli spazi tangenti a E e passanti per P sono piani tangenti a 7*. (n. 38). 
