2 
Vincenzo Amato [Memoria XXIII.] 
Delle sostituzioni ortogonali periodiche si riesce così a dare una rappresentazione per 
mezzo di quella relativa alle sostituzioni ortogonali. 
Inoltre la partizione .( m, m, y ..,m p ) del numero n con m r =zm p . r serve a classificare 
le sostituzioni ortogonali di ordine n e di grado p. 
1. Sia data una sostituzione lineare S e denotiamo con | S | il suo modulo. Es- 
sendo J la sostituzione identica, posto: 
au—z,. 
•i Min 
a,t\ 
fi £* 
•> 11 /in & 
si dimostra che ogni radice equazione caratteristica f(z)~Q è sempre radice del 
1’ equazione z p — I = 0, se si suppone: 
S p =J, 
cioè che la S sia di grado p. In altre parole, se si pone: 
= e p , 
sarà : 
/(*) = (o» — 3) mi <y — z) ,n * (<a p — z) m r, 
essendo : 
«i + w 2 + • • • + = n. 
Si dirà che {m i m 2 ,..., m p ) è il carattere della sostituzione S. 
Notiamo subito che se S è ortogonale l’equazione caratteristica di essa è reciproca (*). 
Sicché, se S è inoltre di grado p, avremo : 
Ul\ Wp_i, Uhi — 111 2 , 
perchè sef(z) =0 ammette la radice (u r di multiplicità ///,., essa ammetterà anche la 
radice ( o / ' r = (o~ r con la stessa multiplicità e sarà perciò: m r —m p . r . 
_p 
Osserviamo inoltie che se p è pari si avrà : co” — — 1, e la radice — 1 potrà es- 
sere ammessa dall’ equazione caratteristica con la multiplicità m p , mentre se p non è 
T 
pari l’equazione caratteristica di una sostituzione lineare ortogonale di grado p non può 
ammettere la radice 1, perchè — 1 non è radice p-esima dell’ unità, s q p e dispari. 
( l ) Una dimostrazione di questo teorema, dovuto a Brioschi, si trova in Cipolla , Le sostituzioni orto- 
gonali non cayleyane, Atti di quest’ Accademia, serie V, voi. VII, mem. 11. 
