Vincenzo Amato 
[Memoria XXIII.] 
(dove, pei- semplicità, si è soppresso 1’ apice p negli elementi di ciascuna matrice). Se 
denotiamo con H' t il minore principale di tì'W contenuto nelle prime righe di H'W si ha 
H' 
V 
H 
P3 
U f II U a 
essendo la somma estesa a tutte le combinazioni p e o, a li a k, degl’indici 1, 2,..., m 
e denotando con H p , il minore di H'i’ì corrispondente alle dette combinazioni delle righe 
e delle colonne, e con U f , U, i minori d'ordine k delle prime k righe della matrice W> 
corrispondenti alle combinazioni p e a delle colonne. 
Non e difficile riconoscere che j H\ | è una forma algebrica delle u ij {i,j = l,..,m ) 
non identicamente nulla. Infatti dalla precedente relazione si trae che il prodotto 
ir 
U r • • 
a i > ì> 2 
u 
r K r h 
ha per coefficiente un minore principale di ordine k di //a», quindi se i minori principali 
di ordine k di non sono tutti nulli, R\ non è identicamente nullo. In caso contrario 
consideriamo un termine della forma 
Esso si presenta due volte nello sviluppo di I H\ | e ha per coefficienti i due minori 
di H ^ coniugati, e perciò eguali, corrispondenti alle combinazioni 
( r i > r z 5 • • • > r n- 1 , r k) , {i\ , r 2 , , r ft _j r\) 
delle righe e delle colonne di tìW (o inversamente). Ciascuno di questi due minori è un 
oliato di un minore principale di ordine li — 1 di H^\ Ora avendo supposto che siano 
nulli tutti i minori principali d ordine k di H { v\ non è ammissibile che siano nulli tutti 
i minori principali d ordine k — 1 (altrimenti, per la simmetria di H(p\ sarebbero nulli 
tutti quelli di ordine £+1,.... e sarebbe nullo lo stesso [ JVp) | ) ? e d allora non possono 
esser nulli tutti gli orlati di un minore principale d’ ordine A— 1, diverso da zero, di H(p) 
e quindi ( | non può essere identicamente nullo. 
Pertanto, in virtù del principio delle diseguaglianze, possono determinarsi le u n in 
modo che si abbia 
I H\\\H\ | .... ! H' mp | = | = 0. 
La proposizione è così dimostrata. 
Se p e pari, faremo un’ipotesi analoga per il quadrato ’ della matrice formata 
con le righe di B di indici 
m i + u h + • • • + 111 n_ + 1 , ///, -|- W 2 + • • • + • 
Infine notiamo che la condizione 
