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Vincenzo Amato 
[Memoria XXIII.] 
con l~0, J , 2 ,..., per p pari, / = 0, 1 , 2 ,..., p —PL 
pari, essendo H simmetrica, la matrice H { *) del secondo membrQ dd , a (3) dev(j egsere 
per p dispari. Nel caso in cui p sia 
simmetrica. La matrice H { ‘" è pure simmetrica e di ordine ,u„. Le iC,, denotano le ma- 
trici quadrate ottenute dalle tì» scambiando le orizzontali con le verticali. 
Inversamente, se il prodotto è della forma data dal secondo membro del- 
la (3), la soslituzione B~' iìB è ortogonale. 
Pertanto si può enunciare il seguente teorema : 
Condizione necessaria e sufficiente perchè una sostituzione lineare B“> 2B di 
grado p sm ortogonale, è che B soddisfi alla (2) nella quale è H una sostituzione 
lineare simmetrica della forma data dalla (3). 
Dalla (2) si deducono subito le condizioni cui debbono soddisfare gli elementi b di B. 
Il numero di queste condizioni è 
n ( m + i ) 
///, — 
2 i 
• • — nt m ( ni 
P 2 P P 
1 
I ) — — ni [m — f— l ) 
2 p p 1 / 
2 
se p è pari, e 
«(«+ 1) -2 2 i 
— m — .... _ m m m i n 
2 1 P — 1 2 P V p 1 ' 
se p e dispari. Quindi se si suppone di aver fissato nella B gli elementi delle 
matrici 
k i — >6 'P 1,3,...,^)), il numero delle condizioni diventa 
b— i v- 
p 
m 
f- l a 2 
m p ' 
se p è pari, e 
il («-f-i) 
+ m\ + 
I 2 
m 
p - 1 
p 
se p è dispari. 
4. Consideriamo ora una sostituzione S qualunque ortogonale di grado p : 
S = B ~ 1 HB 
e supponiamo (come si può sempre fare) che B soddisfi alle condizioni indicate al n. 2. 
Determinata la sostituzione H = BB_ l , risulterà determinata una sostituzione lineare P 
d’ ordine n : 
(4) 
P = 
0 0 ill m 0 
0 H {2) iH® 0 0 
0 0 o 
~J (1) 0 n _1 rd) 
0 0 
o -|/ (1) 0 
0 0 D ip) 
0 
