Le sostituzioni ortogonali periodiche 
Per ottenere ciascuna di queste sostituzioni S una sola volta si può ricorrere alla 
rappi esentazione data dalla (5) e si può quindi applicare quanto abbiamo detto nel n. 1. 
sostituendo alla B il prodotto FA , perchè la trasformata di li mediante FA fornisca , 
ciascuna una sola volta, le sostituzioni ortogonali di grado p per le quali D t . per 
sia diverso da zero. 
5. Se p è dispari, poiché 1’ equazione caratteristica di <1> , ovvero quella di Q , non 
ammette la radice — 1, si ha: 
|*| = | C-' Il Q Ile | = | Q| = 1, 
cioè la ( I> per p dispari è destrorsa, anzi cayleyana (‘). 
Lo stesso quindi si può dire per tutte le sue trasformate e si conclude che : 
Tutte le sostituzioni ortogonali di ordine n e di grado p dispari sono cayleyane. 
Se p è pari ed è ntp = 0, allora l’equazione caratteristica di <I> non ammette la ra- 
si 
dice —1, e però essa è cayleyana. Se invece m JL > 0, allora —1 è radice dell’equazione 
i 
caratteristica di '!> con la multiplicità m p e si ha : 
w , 
co 1 
n-m p +i 
mp 
I * | =(-l). T 
In questo caso <l> è una sostituzione ortogonale non cayleyana della specie m p , se- 
t 
condo la classificazione del Cipolla, e destrorsa o sinistrorsa secondo che sia ui p pari o 
T 
dispari. 
Ora, dalla (6) segue che | S -j- J j e | <I> -j-/ hanno la stessa caratteristica, quindi, 
in base a proprietà note delle sostituzioni ortogonali (*), possiamo concludere : 
Se p è pari latte le sostituzioni ortogonali di grado p corrispondenti alle 
partizioni (m 1 , .. ., m^) nelle quali sia m p =0 sono cayleyane. Invece tutte le 
sostituzioni ortogonali di grado p corrispondenti alle partizioni (ni, , , m,,) nelle 
qali sia m p > 0 sono non cayleyane della specie m p e destrorse o sinistrorse se- 
2 
condo che sia m p pari o dispari. 
~ 2 ~ 
Catania , 14 giugno 1914. 
( l ) Cfr. Cipolla, nota cit . , pag. ii. 
{*) CIPOLLA, nota cit., pag. r4. teor. 9. 
