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idem i à., fa quinte, « *».**« * ; * . n : i* 
Idem , de îa quarte , . . é . 2 : n. 
Rapport de l’intervalle qui vient de quinte , is* 
Idem , de l’intervalle qui vient de quarte , n^ 
r. Nombre de quintes ou de quartes de i’intervalle. 
{. Nombre d’oâaves combinées de l’intervalle. 
t. Nombre de femi-tons de l’intervalle. 
X. Gradation diatonique de l’intervalle , c’eR-à* 
dire , nombre des fécondés diatoniques ma- 
jeures & mineures de l’intervalle. 
X. -f- I • Gradation des termes d’où l’intervalle tire 
fon nom. 
Le premier cas de chaque formule a lieu, lorfqiie 
i’intervalle vient de quintes. 
Le fécond cas de chaque formule a lieu , lorfque 
l’intervalle vient de quartes. 
Les noms de chacune des douze touches du cla- 
vier que cette repréfente font : 
ui de re ma mi fa fi fol be la fia fi. 
Tout intervalle eft formé par la progrefîion de 
quintes ou par celle de quartes , ramenées à l’oûa- 
ve. Par exemple , l’intervalle fi ut ed formé par cette 
progreffion de 5 quartes fi mi la re fiol ut., ou par 
cette progreffion de 7 quintes fi fi de be ma fia fa 
m. De même l’intervalle fia la eft formé par cette 
progreffion de 4 quintes fia ut fiol rc la., ou par 
cette progreffion de 8 quartes fa fia ma be de fi fi 
mi la. 
De ce que le rapport de tout intervalle qui vient 
de quintes eR : 2% & que celui qui vient de quar- 
tes eR 2^ il s’enfuit qu’on a pour le rapport de 
l’intervalle fi ut , quand il vient de quartes , cette 
proportion 2.\ tï^. : : 2,3 : /zb Et R l’intervalle fi ut 
vient de quintes , on a cette proportion : 2® : : 
727 : 2“^. Voici comment on prouve cette analogie. 
Le nombre de quartes d’où vient i’intervalle fi ut., 
étant de 5 , le rapport de cet intervalle eR de 2’ i 
72t , puifque le rapport de la quarte eR 2 : n. Mais ce 
rapport 25 : 22b défigneroit un intervalle de 2’ femi- 
tons , puîfque chaque quarte a 5 femi-tons, & que 
cet intervalle a 5 quartes. Ainfi, l’oélave n’ayant 
que II femi-tons , l’intervalle fi ut pafferoit 2 oRa- 
ves. Donc pour que l’intervalleyf «2 foit moindre 
que l’oftave 3, il faudroit diminuer ce rapport 2^ :n'> ^ 
de deux oûaves , c’eR-à-dire, du rapport de 2^: /. 
ce qui fe fait par un rapport compofé du rapport di- 
reft 2^ : « 5 , ôc du rapport / : inverfe de celui 
-ad' ! , en cette forte ; a’’ X / : 22^ x 2^ * : 2^ : 2^ /z^ 
: : 2^ nK Or l’intervalle fi ut venant de quartes, foii 
rapport, comme il a été dit ci-devant, eR 2^ nd. 
Donc 2® rtd : : 2^ : 72®. Donc , & r = J. AinR, 
réduifant les lettres du fécond cas de chaque 
formule aux nombres correfpondans , on a pour 
C, 7S-~4r~x = 2i —20 —1=0, & pour D, 
7X — ~t — s=7— 4 — 3 = 0. 
Lorfque le même intervalle fî ut vient de quin- 
tes , il donne cette proportion rd'.a^WnP ; 2^. AinR, 
l’on ar==;7,s=4, & par conféquent , pour A de 
îa première formule, 12®— 7'^ — 2 = 48 — 49-}- 1 = o. 
& pour B, I 2 X— 5 t + r= î2 — 5— 7 = 0. De 
même l’intervalle fia la venant de quintes , donne 
cette proportion «O 2® : ^ & pa^ conféquent 
on a r=:4 & s:= 2. Le même intervalle venant de 
quartes , donne cette proportion 2® ; : : ^5 , Ifc. 
II feroit trop long d’expliquer ici comment on peut 
trouver les rapports & tout ce qui regarde les in- 
tervalles par le moyen des formules. Ce fera met- 
tre un leiReur attentif fur la route que de lui donnef 
les valeurs de n&càe fes puiRances. 
F aleurs des puififances de n. 
2z 4 r- 5 c’eR un fait d’expérience. Donc 22^ z 5 
22 42 = I 2 5 , 
î Q U Ë. 
V aleurs pricifes des trois prittiutts pui^drtuS dè tu 
4 i 4 __ 3 , 
îi= 5;, n =/ 5, n = 125. 
V thurs approchées des trois premières puifiances déni 
3 3"" 3^ 
m = |, = 
Donc le rapport qu’on a cru jufqit’ici être celui 
de la quinte juRe , n’eR qu’un rapport d’approxima- 
tion , & donne une quinte trop forte , & de-là lé 
véritable principe du tempérament qu’on ne peut 
appeller ainfi que par abus , puifque la quinte doit 
être foible pour être juRe. 
Remarques fur Us interValUs, 
Un intervalle d’un nombre donné de femi-toiis I 
a toujours deux rapports dilférens ; l’un comme ve- 
nant de quintes , ù. i’aiitre comme venant de quar- 
tes. La fomffle des deux valeurs dé r dans ces deux 
rapports égale 12, & la fomme des deux valeurs 
de s égale 7. Celui des deux rapports de quintes ou 
de quartes , dans lequel r eR le plus petit , eR l’in- 
tervalle diatonique , l’aütre eR l’intervalle chroma- 
tique. AinR i’intervalle fi ut , qui a ces deux rap- 
ports 2î : /z5 & 227 J 24 , eR un intervalle diatonique, 
comme venant de quartes , & fon rapport eR 2) : rd ; 
mais ce même intervalle fi ut eR chromatique com- 
me venant de quintes , & fon tapport eR rd : 24 , 
parce que dans le premier cas r== 5 eR moindre que 
r== 7 du fécond cas. Au contraire l’intervalle fia la.^ 
qui a ces deux rapports '. 2^ ^ 22® , eR diatoni- 
que dans le premier cas où il vient de quintes , ôc 
chromatique dans le fécond où il vient de quartes. 
L’intervalle fi ut., diatonique, eRuüe fécondé min; 
l’intervalle fi ut y chromatique , ou plutôt l’inter- 
valle fi fi ^ car alors ut eR pris pour 7? ) eR un 
imifîbn fuperflu. L’intervalle /æ, diatonique eR 
une tierce majeure ; l’intervalle fia la chromatique , 
ou plutôt l’intervalle mi ^ /zz , ( car alors fia eR pris 
comme mi ) eR une quarte diminuée , ainR deS 
autres. Il efl évident i o. qu’à chaque intervalle dia- 
tonique correfçond ün intervalle chromatique d’un 
même nombre de femi-tons ôc vice versa. Ces deux 
intervalles de même nombre de femi-tonS , l’un dia- 
tonique , l’autre chromatique , font appelles zzzz^r- 
valles correfiponddns, 2°. Que quand la valeur de r' 
efl égale à un de cés nombres 0 , i , 2,3,4, 5,6, 
l’intervalle eR diatonique , foit que cet intervalle 
vienne de quintes ou de quartes ; mais que R r eR 
égal à un de ces nombres , 6 , 7, 8 , 9 , 10 , 1 1 , 1 2 , 
l’intervalle efl chromatique. 3°. Que lorfque r = 6, 
l’intervalle efl en même tems diatonique Achroma- 
tique , foit qu’il vienne de quintes ou de quartes i 
tels font les deux intervalles fia fi., appellés triton ^ 
U fil fia appellés /zzzz/Z^e quinte , le triton /à / efl dans 
le rapport : 2b A vient de fix quintes ; la fauffe 
quinte 7? /z eR dans le rapport 24 : /zb A vient de 
Rx quartes , où l’ori voit que dans les deux cas on a 
rrr 6. AinR le triton , comme intervalle diatonique, 
efl une quarte majeure , A comme intervalle chro- 
matique une quarte füperRue : la fauffe quinte//^, 
comme intervalle diatonique, eR une quinte mil 
neure, comme intervalle chromatique, une quinte 
diminuée. Il n’y a que ces deux intervalles A leurs 
répliqués qui foient dans le cas d’être en même tems 
diatoniques A chromatiques. 
Les intervalles diatoniques de même nom, A 
conféquemment de même gradation , fe divifent 
en majeurs A en mRneurs. Les intervalles chro- 
matiques f© divifent en diiîRnués A funerdus. A 
D 
