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MEMORIaS CIENTIEICAS I LITERAKIAS 
El libro VIII estudia las proporciones continuas i las pro- 
gresiones jeometricas^ considerando especialmente los casos 
en que uno de los terminos es de la forma ah, o . 
El libro IX tambien trata de las progresiones por cuocien- 
t6; i demuestra el valor de >8 hasta w = 4 solamente. 
Se da una grande estension al estudio de los mimeros pri- 
mos: demuestra que su numero es ilimitado; examina las 
propiedades de los numeros pares e impares; i establece que 
todo numero de la forma 
2 n — 1 — 1) es perfecto si — I es prime. 
El libro X esta destinado a las magnitudes irracionales: 
Euclides adopto la representacion jeometrica por carecer los 
griegos del signo matematico correspondiente. Las proposi- 
ciones 1 a 21 versan sobre los radicales; i las 22 a 117 sobre 
los radicales dobles de la forma 
]/x/a ^-s/b . 
Descubrib que habia 25 especies de lineas representativas 
de esta espresion, trabajo que, a juicio de Nesselmann, re- 
vela, del mode mas brillante, el talento del jeometra griego; 
pues, llego a tal resultado sin conocer ei Aljebra ni sus po- 
derosos recursos. Despues de este trabajo de Euclides, i du- 
rante un intervalo de mas de mil anos, hasta Leonardo de 
Pisa i Cardan, no se introdujo ninguna idea nueva en la teo- 
ria de las magnitudes inconmensurables. 
En la proposicion 117 del libro X, Euclides demuestra del 
modo siguiente que la diagonal h es inconmensurable con el 
lado a de un cuadrado: 
Sea a : 5 la razon irreductible de estas dos magnitudes. 
Begun I, 47 : 6^ = 2 es decir, h^ es par, lo mismo que h; i 
como a es primo con h, a tiene que ser impar. 
Ahora bien, siendo h par o de la forma 2 n, reemplazando 
tendremos que 
