INTRODUCTION. 
Dans l’étude des solutions analytiques d’une équation linéaire aux différences 
finies on a rencontré certaines difficultés dues surtout à ce qu’on ne possédait aucun 
instrument analytique propre à représenter ces solutions. 
M. Nörlund, on le sait, a surmonté ces difficultés en des cas importants, et 
dans ses travaux *, si profonds pour toute la théorie des équations aux différences 
linéaires, il a développé une théorie toute analogue à la théorie des équations 
différentielles linéaires. M. Nörlund a fait voir que ce sont les séries de facultés, 
qui jouent le même rôle dans la théorie des équations aux différences qu’ont joué 
les séries de puissances dans la théorie des équations différentielles. 
Dans le second des Mémoires cités, M. Nörlund a traité l’équation suivante: 
(1) 5j( — 1) Æ (ic — 1) (a? — 2) ... (x — i)pi{x) .A i _ 1 u[x) = 0, 
i = 0 
où p n {x) — 1 et les autres Pi{x) se représentent par des séries de facultés de la forme 
Pi{x) = y 
x{x\ 1) ... (æ + s 1)’ 
convergentes dans un certain demi-plan ïfl(x) >> X, où désigne la partie réelle 
de x. On a ici posé: 
Al u(x) = 
u(x + m) — u(x-\-{i-l) ta) + ... + (— 1 Yu(x) 
M. Nörlund a démontré l’existence d’un système fondamental de solutions qui se 
représentent par des développements de la forme 
(2) ui[x) = ^Fo(*)'+ ?» - lo g(“) + •" + ?«(*) ' lo S Q) » 
* Voir en particulier: 
Sur les équations linéaires aux différences finies à coefficients rationnels. Acta Mathematica 
t. 40. 
Sur l’intégration des équations linéaires aux différences finies par des séries de facultés. 
Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo t. XXXV. 
