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Sigurd. Stadler 
tpo(æ), •••. ?m(x) étant des fonctions développables en séries de facultés con- 
vergentes dans un certain demi-plan > const. 
Inversement, les équations de la forme (1) sont les équations les plus générales 
qui admettent un système fondamental de solutions de la forme (2). 
L’équation (1) peut toujours se ramener à une équation, dans laquelle l’inter- 
valle co est un nombre quelconque, ayant la forme 
où les fonctions x~* Pi(x) se représentent par des séries de facultés de la forme 
En faisant tendre l’intervalle co vers zéro, l’équation aux différences (1') tend 
vers une équation différentielle du même ordre qui admet l’infini comme point sin- 
gulier régulier. Les solutions dû type (2) correspondent donc aux solutions qu’on 
appelle régulières, dans la théorie des équations différentielles; pour abréger nous 
dirons que les solutions du type (2) sont régulières. 
Dans ce qui suivra, nous allons démontrer qu’il existe une classe de systèmes 
d’équations aux différences linéaires et homogènes du premier ordre, ayant des 
systèmes fondamentaux de solutions régulières. Nous allons considérer un système 
qui est d’une importance particulière, ici appelé canonique, auquel tous les autres 
systèmes de la classe susdite peuvent se ramener par des substitutions simples. 
On arrive de (1) à un système canonique en faisant les substitutions: 
u t (x) = u[x) 
u 2 (x) = (x — 1) A_ t u(x) 
( 1 ') 
V Fi{x) u(x) = 0 
convergentes pourvu que > const. 
( 3 ) 
u s (x) = (x — 1) (a? — 2) A 2 _ x u(x) 
u n (x) = (x — 1) (x — 2) ... [x ■ — n + 1) A^ 1 u(x), 
qui ramènent l’équation (1) au système suivant: 
(x — 1) A_ x u x (x) = (X — 1) u x (x) + K x+1 (æ) 
X = 1, 2, ..., n — 1. 
(* — !) A -1 U S X ) = {( n — !) + Pu- iN) —PnJp) VlW ••• ± Po( x ) u t( æ )- 
Ce système est un cas particulier du système canonique le plus général : 
(* — 1) u ii æ ) = a n {x) u { {x) -f a n (x) ujx) -f ... -f a ln {x) u n { x ) 
(A) 
(* — 1 ) A -1 U S X ) = a nÀ X ) U À X ) 4 a rÀ X ) U À X ) + + a nS X ) U S X ) 
