Sur les systèmes d’équations aux différences 
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ce qu’on peut aussi représenter par la notion: 
n 
(A) (* — 1) u a {x) = J] ■ 
X=i 
a = 1, 2, , w. 
On suppose que les coefficients a a i(x) se représentent par les séries de facultés: 
n ÿ ^ 
«aXW x ( x _j_ i) . . . ( æ g _ 1 ) » 
convergentes dans le démi-plan 9l(æ)>-X. Le produit x[x j- 1) ... {x -j- s — 1) doit 
être remplacé par 1, quand s = 0. 
Si, au lieu de faire les substitutions (3), on avait posé par exemple: 
u x [x) = u{x) 
u 2 {x) = A_ j u(x ) 
u n [x) = d”“ 1 u[x) 
l’équation (1) aurait été ramenée à un système ayant des solutions régulières, mais 
il n’aurait pas eu la forme canonique. 
En traitant le système canonique (A), j’ai constamment fait usage des méthodes, 
si belles, employées par M. Nörlund dans son Mémoire déjà cité. 
Qu’il me soit permis d’exprimer ici mes vifs remercîments à M. N. E. Nör- 
lund, qui a bien voulu me proposer cette étude et qui a eu la bienveillance de 
m’assister de ses précieux conseils. 
Dans le chapitre II, où il s’agit de former un système fondamental de solutions 
dans le cas où l’équation caractéristique admet des racines multiples, ou bien des 
racines qui sont différentes d’un entier, j’ai emprunté à M. Horn * les méthodes 
qu’il a employé pour l’étude du système correspondant d’équations différentielles. 
Dans le chapitre III j’ai déterminé la forme des systèmes admettant des 
solutions régulières, en me servant d’un procédé employé par M. Schlesinger ** 
aux systèmes correspondants d’équations différentielles. 
Pour tout ce qui concerne les séries de facultés, je renvoie aux Mémoires f de 
M. Nörlund; je me contente de rappeler une formule de transformation des 
séries de facultés, jouant un rôle important dans ce qui suivra: 
Soit ß un nombre complexe quelconque. La fonction Q(x), définie par la série 
* J. Horn : Zur Theorie der Systeme linearer Differentialgleichungen mit einer unabhängigen 
Veränderlichen. I. Mathematische Annalen t. 39 (1891). 
** L. Schlesinger: Vorlesungen über lineare differentialgleichungen, Leipzig (1908). p. 150. 
f Sur les séries de facultés. Acta Mathematica t. 37. 
Sur l’intégration etc. Dans le premier chapitre sont énoncés tous les théorèmes dont 
nous ferons usage. 
