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Sigurd Stadler 
( 5 ) 
ß (») = % + y 
Jx(x + 1) ... (x + s) 
ayant l’abscisse de convergence X, admet une représentation de la forme 
3 + l)...(ß -M-l) 
( 6 ) 
%) = «o + Yi 
(a: + ß)(3!+ß + l)...(a; + ß + *) 
Si cette série converge, si > X, 9î(x)>0; Si 9ft(ß) < 0 la série con- 
verge, si ß) > X , 9fî(æ -)- ß) ;> 0 . 
Plusieurs auteurs, M.M. Birkhoff *, Carmichael **, Horn ***, ont considéré 
des systèmes d’équations aux différences; mais ces systèmes ne rentrent pas dans 
la classe, étudiée ici. Ces auteurs ont traité les systèmes d’équations aux différences 
qui embrassent comme des cas limites les systèmes d’équations différentielles admet- 
tant le point à l’infini comme point singulier irrégulier. Les systèmes en question 
s’écrivent 
(I) ' ujpc -j- 1 ) = . V a a \{x) n\(x) 
X=i 
les fonctions a a \(x) étant données par les séries 
a A x ) = «S + «S + «S + ••• 
convergentes pourvu que \x\ >■ 72; f i est un nombre entier positif. 
Dans le cas où les racines p p de l’équation caractéristique 
sont distinctes, le système est formellement satisfait par les expressions 
(s) s a ß(x) = x ,Xx (pp e _f *) æ x'P |4ß + x ~ ' +'•••} 
a, ß = 1, 2 n. 
M. Birkhoff démontre l’existence de deux systèmes fondamentaux de solutions qui 
sont des fonctions analytiques régulières à l’exception des pôles à distance finie et 
qui se représentent asymptotiquement par les expressions (s), quand x tend vers 
* Birkhoff: General theory of linear difference equations. Transactions of the American 
Mathematical Society, t. 12. 
** Carmichael: Linear difference equations and their analytic solutions, ibid. 
*** J. Horn: Zur Theorie der linearen Differenzengleichungen. Jahresb. d. Deutschen 
Mathematiker-Vereinigung t. 24. (1915). 
