Sur les systèmes d’équations aux différences 
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En substituant les -séries (7) dans l’expression (9), on trouve 
*>. .«..-«j- J | t »+>Vv) p + v) ^ 
et après avoir introduit les séries (11), on obtient 
p (% M ) = v y - — y / s >(p 4- v) gw = 
h h T( - x +'p + v + è 
= É ifa+f+ ^IÊ^p + »w + £/> + » - »e 1 ’ + - + 
v =0 ^ ' r ~T ! ( I=t X =1 
+ ® ■ gi i 1 • 
X^t > 
Pour que les séries (7) satisfassent formellement, il faut que les relations 
suivantes, en nombre infini, soient satisfaites 
(12) 
(a) 
- or = ° 
(b) £/x (p + !) «g* + S/a 'p) «r = ° 
(c) S/S (p + *) + S/S ■ ( 'p + ” - J) + ■ ■ •• + S/S (p) «f = ° 
XX X 
Nous supposons que les nombres gW ne s’annulent pas tous. Alors les équations 
12 a entraînent la condition 
F <p> = I /S ( p) I = I "2 + 8 »xP I = 0 • 
Le déterminant F(p) est appelé le déterminant caractéristique. Donc le nombre p 
doit être l’une des racines de l’équation algébrique de degré n 
(i3) I a S + 8 axPl = °; («>* = 1.2 
Cette équation s’appelle l’équation caractéristique. 
Laissons de côté les conditions 12 a et considérons le nombre p comme une 
variable auxiliaire, dont le domaine de variabilité est borné à un petit voisinage 
des racines de (13). A l’aide des équations 12 b, 12 c,..., on trouve par un calcul 
de proche en proche 
O*) ^ = 
Ipf l)F(p + 2)...F(p + v) 
gf, a = 1, 2, 
n-, v = 1, 2, ..., oo. 
^aX (P) étant des fonctions rationnelles entières de p. 
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