Sur les systèmes d’équations aux différences 
H 
Ce système est donc satisfait formellement par. les développements: 
( 18 ) 
«a (*) = y, 

(* + P) ( x + P + 1) ••• ( x + P. + V — 1) 
Au lieu de déterminer directement le domaine de convergence de ces séries, 
nous allons étudier des séries qu’on déduit de celles-ci à l’aide de la formule de 
transformation (9), de sorte que nous pourrons étudier non seulement le domaine 
de convergence mais aussi les domaines de sommabilités des séries (18). 
Nous supposons que les séries pour les a a \(x) sont sommables par des moy- 
ennes arithmétiques d’ordre r pour 9 l(æ) > \ et que l’une au moins de ces séries 
admet X, pour abscisse de sommabilité d’ordre r. 
Alors les séries c a \(x) admettent les développements 
» 
c é r ï _ a (o) . 4 ; g r . ; V Ak 
“X al al ' 2j (x -f- r) [x -)- r -\- 1 ) ... (x r -)- s — 1 ) ’ 
convergents, pourvu que 9 \{x) >> , 9î(:r) >. 0 . 
Multiplions le système (18) par q(x ) = X ? — r, on trouve 
x ? — 1' 
(x + r)k_^v rj (x) - y +t- ~L ■ C aJ^ x) • v \^ + • J /g (P) g\ 0) (p) = 
\=i ' ^ P x=i 
n n 
•— y p a) (, x ) • \(x) + <z(*) • y/s (p) • (p) • 
X=i X=i 
Les fonctions p Ax) et q(x) se représentent par des séries de la forme 
(19) 
S s . 
(20) (x) = + \ x ■ P + S {x + r) (J . + + (a! + V+~, - 1) 
(21) q(x) = 1 + V 
c s î 
°s + 1 * * 
{x -f r) (x -f r .+ 1 ) ... (x + r:<f s) ’ 
convergentes pourvu que 9 Î(æ);>|j., jjl désignant le plus grand des nombres X r , 0 
et 91(1 — p). 
En posant 
«*(*), - , V S X )) = — (x + r) -f y («g + S aX • p) -v } (x) 
X=i 
B'p^x), v£x), ... , v n {x)) = y (— pjp) + «2 + S «X ’ ’ 
X=i 
