Sur les systèmes d’équations aux différences 
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Les nombres yM sont donc pins grands que les yW et par suite plus grands 
que les yW. 
Par suite, si la série de facultés 
(37) 
v éi ( x + r + 1) (X -b r + 2) . . . (x + r -f v) 
est convergente, les séries (31) et (24) convergent aussi. En posant 
y(v) 
Uv (: x + r -f 1) (x + r -4 2) . . . {x -f- r -f v)’ 
on trouve pour des valeurs de v dépassant une certaine limite 
“*+i _ j j E ~f £ — g + 
La série (37) et par conséquent les séries (31) et (24) sont donc absolument con- 
vergentes pourvu que iR(.'r) > p. — 1. 
Les séries (24) qui représentent les solutions v rx (x) peuvent aussi se mettre 
sous la forme 
(38) 
vm = g» + 
[x 
Æo (® + r ) (*+'»*+ 1 : 
et ces séries convergent pourvu que 9î(a:) > p. — ■ 1, mais elles ne sont pas néces- 
sairement absolument convergentes dans ce domaine. 
Les coefficients 6r^ sont des fonctions de p, mais les séries (38) convergent 
uniformément par rapport à p, quand p se trouve dans le domaine de variabilité f. 
Considérons le terme reste 
qui peut aussi s’écrire 
(39) = y 
~{x + r){x -fr + 1)... (æ + r + v) 
nG. 
J n (x -\-r+\)(x-\-r -f 2) . . . (x -f r -j- v) (x r) (x -p r -f 1 ) . . . [x + r -)r J?)’ 
Nous supposons que le domaine de variabilité d’une certaine des racines p & soit un 
petit cercle autour de p K comme centre et avec le rayon 
Soit p/ le plus grand des nombres p. et 91(1 — p a -f- e), et remplaçons dans les 
calculs précédents partout p. par p/; on voit que les nombres yM sont positifs 
et indépendants de p. Les termes B ^ se composent de deux termes, dont l’un est 
en valeur absolue plus petit que le terme reste dans une série convergente dont les 
termes sont indépendants de p et dont l’autre tend uniformément vers zéro quand 
n tend vers l’infini. Les séries (38) sont donc uniformément convergentes par 
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