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Sigurd Stadler 
rapport à p sous les conditions indiquées. En dérivant les séries terme par terme 
un nombre quelconque de fois, on trouve des séries qui convergent sous les mêmes 
conditions. 
4 . Posons 
»«(*. p) = v a (x), ^-^ s — =»?(*, p) 
8p 
et 
= v[f(x , p ) . 
d S v[x> P) 
-8p S Jp=p i 
Les séries qui représentent v u (pc, p) peuvent aussi se mettre sous la forme 
(40) 
p) = 2 
4 v, (p) 
M x ( x + ••• (* +' v — 
où les séries de facultés sont sommables par des moyennes arithmétiques d’ordre r 
pourvu que $i(x) > p. — 1. Ces séries de facultés sont de la même forme que les 
séries qui représentent les coefficients a a i(x) de notre système (A). 
Nous avons donc démontré que le système 
(16) P a KW, u 2 (x), . . . , U n (x)) = -j £ («L°{ + . p) . ff[ 0) (p) 
est satisfait par les séries 
( 41 ) «<*(*>>) = ^ é a (x, p). 
En faisant tendre p vers une des racines p n de l’équation caractéristique, on voit 
que le système d’équations homogènes (A) est satisfait par les fonctions 
««(*. P J = 
JW 
J( æ + P») 
vJ x , P r 
pourvu que les quantités gW soient choisies de manière à satisfaire aux équations 
12 a. Nous supposons que les n racines soient distinctes et que les racines ne soient 
pas différentes entre elles d’un nombre entier. Soit p p une des racines et considé- 
rons le système 
(12 a) 5](«ä + s a X-Pß)-rf )==0 - 
X=i 
D’après la théorie des équations linéaires, nous savons que ce système admet un 
système de solutions que nous voulons représenter par la notion 
..., f/°) 
’ -'«R 
