Sur les systèmes d’équations aux différences 
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et ce système sera complètement déterminé, si l’on a pris arbitrairement l’une des 
quantités gW (a= 1, 2, 
On obtient n systèmes de solutions correspondant aux n racines p^, et nous 
savons que le déterminant 
K?| M = l,2,...,n) 
est différent de nul. 
De ce fait on peut se servir pour démontrer que les n systèmes de solutions, 
que nous voulons désigner par 
« a p(*. P p) (a, ß = 1,2, 
forment un système fondamental de solutions de (A). 
Considérons en effet le déterminant des solutions 
D = |« a p(», pp)| (a, ß = 1, 2, ..., n). 
Quand x tend vers l’infini en restant dans le domaine de convergence des séries 
de facultés, on trouve 
lim icPi + p2 + ••■ + Pn . D == |<^|| . 
Le déterminant B n’étant pas identiquement nul, les solutions forment un système 
fondamental. 
On peut donc énoncer le théorème suivant: 
Soit un système d’équations aux différences finies de la forme canonique 
(«— 1) A , u l x ) = Yj a Ax)uAx) (a = 1,2,..., n), 
où les coefficients a Jx) se représentent par des séries de facultés de la forme 
<KÀ X ) 
£o x ( x + 1 )... (a; + « — !)’ 
convergentes pourvu que 91(;r) X et sommables par des moyennes arithmétiques pour 
9î(a:) > X . Supposons que les racines p„ (ß = 1, 2, ..., n) de l’équation caractéristique 
P 
|“S + â «x • p| = 0 
soient distinctes et que les nombres p^ n’aient entre eux aucune différence entière. Ce 
système admet n systèmes de solutions, linéairement indépendants 
<(*» Pal = 
T(x) 
V- Kr + ttf&V 
a, ß = 1, 2, ..., n 
