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Sigurd Stadler 
oft les fonctions vj^x, p r ) se représentent par des séries de facultés de la même forme 
que les coefficients a a f x )^ convergentes pourvu que 9î(æ -f- 1) > X', 9î(x -f Pq) > 0 et 
sommables d'ordre r pourvu que 9î(.r + 1) X' r , 9î(o? -f- p 0 ) >• 0 ; X' et X' r désignant le 
plus grand des nombres X resp. X et zéro. 
5 Dans le cas où il y a entre les racines de l’équation caractéristique des 
racines multiples et des racines, différentes entre elles d’un nombre entier, nous 
savons par le précédent qu’on peut toujours choisir les quantités (p) de manière 
à avoir les solutions 
m 
(41) 
p) = v7 
+ p) 
satisfaisant au système d’équations inhomogènes 
»>> pl 
( 16 ) 
POufx), tt 8 (æ), 

r{x m py ^ rA 
, x ■ P) • 9^ (p)- 
Choisissons donc les gW ( p) de manière qu’aucune des quantités gf£>{ p) ne devienne 
infini pour p = p^, et en outre que 
?Sfx (*>' p); M, (®, P), «„(*, P)) 
s’annule Ä fois pour p = p^, /t étant un nombre entier. Remarquons que les fonctions 
nW (âr, p) 
satisfont au système 
P a («W ( æ ), «(/)(x) ^ [ r J ( ^ p) S Kl + S aX • P) • (p) 
Sous les conditions indiquées les expressions 
“!?■(*• Pr) = kxi n 
ou encore 
«(*>(*, p a ) = 
r(a?) 
3p s + P) 
p, 
« (*> p) 
P-Pß 
1» 
' 8p s -X \l\ x -f p 
p p 
sont donc des solutions du système 
PJufx), ufx), ufx)) = 0. 
Les fonctions yù) (x, p), étant des dérivées de séries uniformément convergentes se 
représentent donc par des séries de facultés de la forme 
^’ S) (P) 
V^{ 3 C, p) = 
= V 
\x{x+ 1) ... [x + 
1 )’ 
