Sur les systèmes d’équations aux différences 
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En reprenant les calculs pour les autres groupes de racines, on trouve donc 
n solutions, appartenant aux n racines de l’équation caractéristique. Elles forment 
un système fondamental de solutions, c’est ce qu’on démontre en se servant du 
déterminant des solutions et en tenant compte du fait que le déterminant j, 9 ^| ne 
s’annule pas. 
10. On peut donner aux expressions (52) de nos solutions une forme un peu 
p t x \ 
différente, en introduisant, au lieu des fonctions = 7 — — r et de leurs dérivées, des 
+ pi) 
puissances de log 
■ M. Nôrltjnd a démontré * que la fonction 
(63) ■ I P. r _M_ = £i(æ) 
admet un développement en série de facultés de la forme 
Q(x) 
1 + 
V ^ ÖS 
2 jæ(.X + 1 ) ... (x + s)’ 
la série étant convergente pourvu que %i(x + p) > 0 et ^(.-r) > 0. La série étant 
uniformément convergente par rapport à p, on peut dériver un nombre quelconque 
de fois par rapport à p. 
En introduisant ce développement dans l’expression (48), on trouve pour les 
solutions (52) le développement 
(54) 
X«, i) = 
■ log 
ü{x ) . ÇJz, p 2 ) x ( 0 ) . 
Les coefficients des puissances de log(-) sont donc des séries de facultés, conver- 
gentes resp. sommables d’ordre r pourvu que 9l(;r) > 0 SR(x -f- p») >■ 0 fR(a; -f- 1) > X 
resp. X,.. Nous pouvons dire que les solutions (52) ou (54) appartiennent à l’exposant p*. 
11 . A côté des solutions (52) que nous voulons appeler les solutions canoniques, 
il existe, comme nous l’avons vu dans le paragraphe 9, un nombre d’autres solutions 
h = 0, 1, 2, ..., i— 1; X« = X«, X« ..., X«. 
Nous allons démontrer que ces solutions sont des combinaisons linéaires à coefficients 
constants des solutions canoniques. 
* Sur les séries de facultés p. 368. 
