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Sigurd Stadler 
Les îr r/ x(æ) sont donc des sommes de produits formés des fonctions 
p^+i), .... p aX (* + n 
c’est ce qu’on voit immédiatement si l’on se rapelle le théorème de multiplication 
des matrices. 
Supposons maintenant que les coefficients a a \[x) du système (A) soient des 
fonctions qui admettent un prolongement analytique dans tout domaine fini et qui 
ont pour points singuliers à distance finie les points 
ft,* ß*> - 
dont le nombre peut être fini ou infini. 
Les coefficients Pal (x) admettent les points singuliers suivants 
Pi — i, iV-i> -, 
et, par suite, les 7E a x(æ) ont les points singuliers 
ßi — s i= 1, 2, 3, ... ; s=l, 2, ..., N+ 1. 
A l’aide des équations (70), mous pouvons faire le prolongement des fonctions 
u a [x) dans un domaine fini quelconque G, car on peut toujours choisir le nombre 
N suffisamment grand pour que les séries de facultés qui représentent les fonctions 
u a (x -f N -\- 1) 
soient convergentes quel que soit x en G. 
Des formules (70) il résulte donc que les solutions canoniques ne peuvent ad- 
mettre comme points singuliers à distance finie d’autres que les points 
0 , — 1 , — 2 , ... 
qui sont des pôles simples et les points 
ßi — s s'= 1, 2, .... 7V+-JL; i = 1, 2, 3, ... 
Au voisinage des points ßi — s, les solutions canoniques se comportent comme des 
fonctions rationnelles entières des expressions 
P u \[x 4 s = 0 , 1 , 2 , . . . , N 
avec des coefficients qui sont des fonctions holomorphes dans le voisinage des points 
respectifs, c’est à dire comme des fonctions rationnelles entières des fonctions 
a o_\{x -f- 1) et de leurs différences successives. 
Tous les théorèmes énoncés par M. Nörlund dans son travail p. 24 sont donc 
valables pour le système canonique (A). 
18. Aux points singuliers à distance finie il faut ajouter le point à l’infini 
Nous avons vu dans le paragraphe 15 comment se comportent les solutions cano- 
niques quand x tend vers l’infini en restant dans le domaine de convergence des 
séries de facultés qui représéntent les coefficients dans les expressions (63). 
