CHAPITRE IV. 
19. Nous allons traiter dans ce chapitre la question inverse à celle dont nous 
nous sommes occupés dans les chapitres précédents. Nous allons partir de n 
systèmes de fonctions, linéairement indépendantes, ayant les mêmes propriétés que 
les solutions obtenues dans les chapitres précédents et nous allons déterminer la 
forme du système d’équations aux différences finies linéaires et homogènes du pre- 
mier ordre admettant ce système fondamental de fonctions comme solutions. 
D’abord nous allons démontrer le lemme préliminaire suivant: 
Un système d’équations aux différences finies linéaires et homogènes du pre- 
mier ordre admettant comme solutions les n systèmes de fonctions linéairement 
indépendantes 
1 2 n. 
u n {x) 
u l2 {x) 
Um[x) 
«elfe) ’ 
u 22 (x) . . . 
U2n[x) 
U n i{x) 
u n2 [x) 
u nn [x) 
peut toujours 
se 
mettre sous la forme 
Au a [x), 
u^x), 
u 2 (x) , 
■ - , U n (x) 
A u al (x), 
—1 
u n {x), 
u 21 (x), . 
■ - , U n i(x) 
(D) 
A u a2 {x), 
—1 
u 12 (x), 
u 22 [ x ) ) • 
. u n2 (x) 
A u an [x ) , 
u ln (x), 
U2n{x), . 
■ ■ » M nn[x ) 
a = 1, 2, . . ., n. 
En effet, en substituant, au lieu des fonctions ujx), les n systèmes indiqués 
de solutions, les n déterminants (D) se réduisent à zéro, car alors ils possèdent deux 
lignes identiques. Mais ils ne s’annulent pas identiquement en ce que les systèmes 
de fonctions forment un système fondamental et, par suite, le déterminant 
I «aß(<4 I 
a, ß = 1, 2, . . ., n 
ne s’annule pas identiquement. 
