Sur les systèmes d’équations aux différences 
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20. Nous allous déterminer la forme d’un système d’équations aux différences 
qui admet un système fondamental de solutions régulières de la forme 
oo « (v) / « \ 
(721 u (x)=u (x p 1 — V{X ) - Y W = 
( «ß ’V r(x + p„) (* + Pg) (^ + pß + !)••• (^ + P ß + v — l) 
r(æ) 
Pft) • 
r (^ + pß) a ß ’ ß 
a, ß = 1, 2, . . w. 
les séries de facultés étant convergentes pourvu que 9l(x) > X — 1. * 
Supposons d’abord que les solutions (72) soient de la forme canonique, c’est 
à dire que le déterminant 
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a, ß = 1, 2, . . n 
soit différent de nul. 
En formant les expressions — ( x — 1) A u a ^(x), on trouve 
(x — 1) A u Jx) = 
f(a;) 
les v^(x, p.p) désignant les séries 
"«é*- = £ 
r(® + Pß) 
Äp r ) • (Pr 
V„M Pr) ) 
“ï ß “{(®+Pß) (* + Pß+l) ••• (^+Pß + V — 1)’ 
convergentes si l’on a 3î(£c) > X. 
En substituant les fonctions (72) dans les déterminants (D), après avoir multi- 
plié la première colonne par — (x — 1), et en supprimant dans les n dernières 
lignes les facteurs 
r(æ) r(a;) r(æ) 
ro» + Pt) ’ f(fl5 + p 2 ) ’ ’ ’ ‘ ’ r(æ + p») 
on trouve les déterminants suivants: 
= 0 
— (x - — 1 ) A_ x u a (x), 
u^x), U 2 (x), .. 
. , U n (x ) 
v ai {x, Pi), 
Cn(*iPl). CjlfoPl)» •• 
; t n i( x ’ Pi) 
( 73 ) 
p*). 
^ 12^5 P 2 )) ^ 22(^1 P 2 )’ • • 
•». «U®, p 2 ) 
V J X > PJ- 
Cl # (*,P«), C 2 >- P«)’ •• 
■> PJ 
a = 1, 2, n. 
* On suppose que les solutions appartiennent aux exposants p^ , c’est à dire, que pour ß 
égal à une certaine de ses valeurs, tous les nombres ne s’annulent pas. 
