Sur les systèmes d’équations aux différences 
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Par conséquent, tous les nombres ^ s’annulent sauf les jW qui deviennent 
e=-p„- 
Les racines de l’équation caractéristique sont donc les nombres 
Pu P 2 > P n ' 
De plus, on voit que, si plusieurs des nombres p a sont égaux entre eux, il 
ne correspond que des diviseurs élémentaires simples du déterminant caractéristique. 
21. Maintenant nous allons considérer le cas général où les solutions données 
sont telles que le déterminant 
(74) ItpfoPfs' 
a, ß = 1 , 2, ..., n. 
s’annule d’un ordre fini, quand x tend vers l’infini en restant dans le demi-plan 
de convergence des séries de facultés. Il ne peut pas manquer qu’un nombre fini 
des termes premiers dans la série de facultés représentant le déterminant (74), car 
autrement les solutions n’auraient pas pu former un système fondamental de so- 
lutions. 
En reprenant les calculs sous ces conditions, on voit que les coefficients a a y{^) 
du système obtenu se représentent par des séries de facultés ayant uue abscisse de 
convergence finie, mais le système ainsi construit n’est pas de la forme canonique. 
On peut cependant, par des substitutions simples, ramener ces systèmes à la 
forme canonique. Nous allons étudier ces transformations en nous servant d’une 
méthode de réduction employée par M. Schlesinger aux systèmes correspondants 
d'équations différentielles. * 
Supposons que les solutions dopnées (72) soient transformées en les expres- 
sions suivantes 
(75) 
\x[x -\- 1) ... (x v) 
*«?(*• pp>- 
Considérons la matrice formée de ces solutions; elle peut s’écrire 
P 6 ) (*V P M) = Pp)) («* • (4-) ?p ) ■ 
a, p ■= 1, 2 
Nous supposons que a désigne l’index des colonnes et que ß désigne l’index des 
lignes, de sorte que chaque ligne de la matrice (76) sera une solution. 
* Voir. L. Schlesinger. Vorlesungen über lineare Differentialgleichungen. (Leipzig 1908) 
p. 150 
