Sur les systèmes d’équations aux différences 
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est un déterminant qui s’annule d’un ordre fini, quand x tend vers l’infini en 
restant dans le domaine de convergence des séries de facultés représentant les 
éléments du déterminant. 
Le système ne peut donc pas avoir la forme canonique. 
Considérons la matrice formée des fonctions Ç que nous voulons écrire 
W*)) 
a, ß = 1 , 2, ... , n. 
Après ce que nous avons démontré dans le paragraphe 21 , on peut, en multipliant 
à gauche cette matrice par une matrice 
KfsM)- 
ayant les mêmes propriétés que dans le paragraphe 21 , obtenir une matrice 
dont le déterminant des termes constants des fonctions ne s’annule pas *. 
Mais les fonctions déterminent un système d’équations aux différences ayant 
la forme canonique. 
L’opération indiquée nous montre donc qu’on peut, par une transformation 
de la forme (84), ramener le système cherché à un système canonique. 
Nous avons donc démontré le Théorème. 
Tous les systèmes d'équations aux différences finies linéaires et homogènes du 
premier ordre qui admettent un système fondamental de solutions régulières, ainsi que 
nous les avons défini, sont de la forme canonique ou ils peuvent, par des transformations 
de la forme 
(84) AW' 
être ramené à la forme canonique (A). 
Les h , sont des fonctions rationnelles entières de - et les ô. sont des nombres 
al X V l 
entiers positifs ou zéro. Le déterminant 
h . 
al 
est égal à une constante différente de nul. 
* On suppose que tous les termes constants des séries C a ß ne s’annulent pas. Cette condi- 
ion est remplie si les solutions données appartiennent aux exposants pß. 
