Introduction. 
Dans son Cours d’ Analyse, Cauchy 1 a démontré un théorème qu’on a souvent 
appelé le théorème de condensation de Cauchy et auquel on donne généralement la 
forme suivante: 
»Soit une série à termes positifs et décroissants 
GO 
S/W; 
elle converge et diverge en même temps que la série 
GO 
Y «*/(«”). 
si l’on a a > 1.» 
L’importance de ce théorème résulte de ce qu’il nous donne des renseigne- 
ments définitives sur la convergence d’une infinité de séries, si nous connaissons la 
convergence d’une seule série. Dans les applications, on emploie avec avantage le 
critère d’ERMAKOFF 2 , critère simple, qu’on peut appliquer aux séries à termes positifs 
et décroissants. Donc, le problème de convergence de ces séries est, à certains égards, 
complètement résolu. 
De plus, ce théorème forme le point de départ le plus pratique, lorsque on veut 
établir les critères de convergence de Bertrand, qu’il obtenait, d’ailleurs, en partant 
d’un autre théorème de Cauchy. 
Le théorème est susceptible de généralisations dans plusieurs directions. Ai nsi ; 
M. Gouwentak 3 et M. Kluyver 4 l’ont étendu aux séries 
GO GO GO 
^ a P n fi a P n )y (« + H P_1 /((« + &*0 P ). 
et à d’autres semblables (voir ci-dessous, § 18). 
1 Œuvres complètes, 2 e sér., t. 3, Paris, 1897, p. 123 — 124. 
2 .Caractère de convergence des séries ( Bulletin des Sciences mathématiques, t. 2, 1871, p. 250 
— 256). Extrait d’une lettre (ibid., 2 e sér., t. 7, 1883, p. 142 — 144). 
3 Eene uitbreiding van een tweetal convergentielcenmerken {Nieuto Archief voor Wislcundet 
2 e sér., t 8, 1909, p. 370—372). 
4 Eene uitbreiding van het convergentiekenmerlc van Cauchy (ibid., p. 373—374). 
