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Thorihl Dahlgren 
Mais plus profondes et plus importantes sont les généralisations qu’en à donné 
M. Nörlund dans ses cours universitaires. En remplaçant la fonction a x par une 
autre fonction et par sa dérivée, il a déduit plusieurs théorèmes de condensation, 
ou plutôt théorèmes de transformation, dont le plus important est le suivant, donné, 
sous une forme un peu simplifiée, dans le § 23 de cette thèse, à savoir: 
»Les séries 
OO oc 
5]/( â ) et 
convergent et divergent en même temps, 
1°. si f{x) est une fonction qui, pour x > x 0 , admet une dérivée continue de 
l’ordre p ( p > 1) telle que l’intégrale 
J I f v) (x) I dx 
est convergente; et si, pour x-*-co, 
f (î) {x)-> 0, i = 0, 1, p — 1; 
2°. nous supposons que la fonction tp(x) admet une dérivée continue de l’ordre 
p -f~ 1 ; les dérivées de <p(x) des ordres 1 , 2, ..., p + 1 seront, pour x > a? 0 , de 
signes constants; et, pour x-^cc, nous aurons 
f{x) co ; I œ'(æ) | < const. ; ?{%) —s ► 0, i = 2, 3, ..., p. » 
Nous avons donc supprimé la condition relativement à. f(x) qu'elle soit positive 
et décroissante; mais, en échange, nous avons imposé à la fonction cp(x) des con- 
ditions restrictives, auxquelles l’exponentielle a x ne satisfaisait pas. 
La démonstration de M. Nörlund repose sur un théorème sur la relation 
entre la série et l’intégrale 
00 00 
^/(w) et Jf(x)dx , 
o o 
théorème qu’il a établi en se servant de la formule 
î m dx - £ /(»; = S * [/'"”(o) - /'-»] + (- 1 )' ] ^rr /"W *■ 
b 0 î==1 o 
Cette identité n’est pas autre chose, d’ailleurs, que la célèbre formule sommatoire 
découverte par Euler et MacLaurin. 
Le but de notre travail est de généraliser le théorème de condensation de 
Cauchy et les théorèmes de M. Nörlund, en considérant des séries doubles et 
multiples au lieu de séries simples. Pour être complet, nous donnerons toutefois 
d’abord ces théorèmes et quelques autres théorèmes de transformation concernant les 
séries simples. Puis nous considérerons la fonction f[x 1 , x 2 ), dans laquelle nous 
ferons la substitution 
*«==<?« (y, 
= 1 , 2 , 
