Sur le théorème de condensation de Cauchy 
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qui nous conduit à la série double transformée 
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Dans le Chapitre 1, nous donnerons, pour faciliter la lecture du chapitre suivant, 
un résumé de la théorie des nombres et des polynômes de Bernoulli doubles et 
multiples, résumé que nous avons emprunté aux cours de M. Nörlund. 
Le Chapitre II est consacré aux recherches sur la relation entre la convergence 
et la divergence d’une série et d’une intégrale. Dans la première partie, nous con- 
sidérerons les séries et les intégrales simples, dans la seconde les séries et les in- 
tégrales doubles et multiples. 
Cauchy 1 a démontré le théorème bien connu suivant: 
»Soit f(x ) une fonction positive, à partir d’une certaine valeur de x, décroissante, 
et tendant vers zéro lorsque x augmente indéfiniment. Alors la série 
a un sens ou non.» 
En réalité, ce théorème est déjà donné par MacLaurin 2 * 4 . 
Dans le § 5, nous démontrerons qu’il ne faut pas nécessairement supposer la 
fonction f(x) constamment décroissante, qu’elle peut, au contraire, sous certaines con- 
ditions, osciller une infinité de fois entre des limites finies. 
M. Bromwich 3 a démontré qu’on peut encore multiplier une fonction positive 
et décroissante f[x) par un facteur oscillatoire sin y(x) ou cosï(æ), sans que le théo- 
rème de Cauchy cesse d’être vrai, f(x) étant une fonction croissante admettant une 
dérivée décroissante <p'(x) telle que l’intégrale J f(x) <p'(x) dx converge. En remplaçant 
les fonctions sin et cos par une autre fonction oscillatoire, et en remplaçant la fonction 
<p(x) par une autre fonction dont la dérivée n’est pas nécessairement constamment 
décroissante, nous donnerons, dans le § 6, une forme plus générale du théorème de 
M. Bromwich. 
Dans les §§ 7 — -10 nous rendrons compte de quelques théorèmes importants de 
M. Hardy 4 et de M. Nörlund, théorèmes d’une portée très grande, étant applicables 
non seulement à des fonctions positives mais à des fonctions d’un caractère beau- 
1 Sur la convergence des séries ( Œuvres complètes, 2 e sér., t. 7, Paris, 1889, p. 267 — 279). 
2 A treatise of fluxions, Edinburgh, 1742, p. 289—290. 
" The relation between the convergence of sériés and of integrals ( Proceedings of the London 
Mathematical Society, 2 e sér., t. 6, 1908, p. 327 — 338). 
4 Theorems connected with MacLaurin’ s test for the convergence of series ( Proceedings , etc., 
2* sér., t. 9, 1910, p. 126—144). 
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est convergente ou divergente, suivant que l’intégrale 
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